Reihensumme berechnen

26.03.2016, 23:24

iamrickyspanish

Reihensumme berechnen

Meine Frage:
Folgende Aufgaben-Stellung:

Berechnen Sie die folgenden Reihensummen:
$\begin{eqnarray*} <br /> \sum\limits_{i=0}^{\infty } 3^{i} * \frac{1}{i!} <br /> \end{eqnarray*}$
Ich finde auf keinen meiner Arbeitsblätter etc. den Ausdruck "Reihensumme".

Was ist verlangt?

Meine Ideen:
evtl. Grenzwerte?

Google spuckt zum Begriff "Reihensumme" von Induktion bis Grenzwert so ziemlich alles aus....

27.03.2016, 04:03

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Reihensumme berechnen
Ich würde auf "Grenzwert" tippen, also bemerken, dass $\begin{eqnarray*} s_n = \sum_{i=0}^n 3^i \cdot \frac 1 {i!} \end{eqnarray*}$ konvergiert, und nun den Wert $\begin{eqnarray*} s = \lim_{n \to \infty} s_n \end{eqnarray*}$ berechnen.

27.03.2016, 13:42

iamrickyspanish

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe so eben den Lösungsweg für die genannte Aufgabe erhalten.

Und er wirft mehr Fragen auf als er beantwortet:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } 3^{i} *\frac{1}{i!} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} exp(3) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} exp(3 * 1) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} exp(1)^{3} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{3} \end{eqnarray*}$

1. Was zur Hölle hab ich damit jetzt ausgerechnet? Ist das jetzt ein Grenzwert? Oder eine tatsächliche Summe? Ich komm mir ziemlich dumm vor aber mehr gibt unser Lernmaterial einfach nicht her....

2.

$\begin{eqnarray*} exp(3 * 1) = exp(1)^{3} \end{eqnarray*}$
Wieso kann ich einen der Faktoren als Potenz aus der Klammer ziehen . Welche gesetzmäßigkeit steht dahinter? (Wieder kein Wort in dem mir vorliegenden Lernmaterial)

27.03.2016, 14:28

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von iamrickyspanish
1. Was zur Hölle hab ich damit jetzt ausgerechnet? Ist das jetzt ein Grenzwert? Oder eine tatsächliche Summe?

Der Grenzwert ist doch der Wert der Summe, bzw. Reihe.

Eine Reihe, bzw. Summe ist nichts anderes als eine Folge, nämlich eine Folge von Partialsummen. Du wirfst ständig i und k durcheinander, ich bleib jetzt einfach mal bei k. Welchen Buchstaben man nimmt, ist egal, aber man muss auch konsequent bei diesem einen bleiben.

$\begin{eqnarray*} b_n = \sum_{k=0}^n \frac{3^k}{k!} \end{eqnarray*}$

So ist beispielsweise bei dieser Folge $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} b_3 = \sum_{k=0}^3 \frac{3^k}{k!} = \frac{3^0}{0!} + \frac{3^1}{1!} + \frac{3^2}{2!} +\frac{3^3}{3!} = \text{(bei Interesse selber ausrechnen, ist aber eigentlich unwichtig)} \end{eqnarray*}$

k ist eben der Laufindex dieser Summe rechts. Und allgemein das n-te Folgendlied von $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ist eben

$\begin{eqnarray*} b_n = \sum_{k=0}^n \frac{3^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Die interessante Frage ist nun: Was ist der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ ? Existiert dieser Grenzwert überhaupt? Wenn ja, was kommt raus? Und der Grenzwert dieser Folge entspricht dann eben dem Wert dieser Reihe, also der Summe dieser unendlich vielen Folgenglieder, die sich rechts ergeben. Also

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{3^k}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{3^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Und diesen Grenzwert sollst du ausrechnen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} exp(3 * 1) = exp(1)^{3} \end{eqnarray*}$
Wieso kann ich einen der Faktoren als Potenz aus der Klammer ziehen . Welche gesetzmäßigkeit steht dahinter?

Das sind einfach Potenzgesetze, die solltest du idealerweise auf dem Schirm haben. Ich weiß zwar nicht, was genau diese Umformungen sollen, aber nachvollziehen können sollte man es, was da passiert.

27.03.2016, 14:48

iamrickyspanish

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, Ok.

Sorry beim k hab ich mich vertippt.

Im Ergebnis war halt nirgends von einem Limes die rede.

Ich habe Grenzwerte bis jetzt nur in der Form

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x = ... \end{eqnarray*}$

gesehen.
Notiere ich dann das Ergebnis einfach als Limes?

Sorry aber der Begriff der Reihensumme macht mich irre.

27.03.2016, 14:55

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von iamrickyspanish
Im Ergebnis war halt nirgends von einem Limes die rede.

Ja nu, so werden Reihen eigentlich eingeführt und definiert. Wenn man das mal weiß, muss man das auch nicht mehr jedes Mal so schreiben, ist ja unnötig Schreibarbeit. Aber man sollte schon wissen, was so eine Reihe eigentlich ist. Du musst das nicht "als limes" notieren".

Und wenn dir das Wort "Reihensumme" so zusetzt, dann sag halt stattdessen "Wert der Reihe" oder sonstwas. Irgendeinen Ausdruck dafür werdet ihr doch in der Vergangenheit wohl mal verwendet haben.

27.03.2016, 18:58

iamrickyspanish

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,

Vielen Dank für die Hilfe

Neue Frage »

Antworten »

Reihensumme berechnen

Verwandte Themen