Funktion: Stetigkeit und Grenzwert an einem bestimmten Punkt

27.03.2016, 21:36

iamrickyspanish

Funktion: Stetigkeit und Grenzwert an einem bestimmten Punkt

Meine Frage:
Folgendes:

Wenn ich den Grenzwert einer Funktion in einem bestimmten Punkt $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ ermitteln will gehe ich wie folgt vor:

Der (beidseitige) Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to x_{0}} x \end{eqnarray*}$ existiert nur, wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to -x_{0}} x = \lim_{n \to +x_{0}} x \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ nachweisen will, gehe ich wie folgt vor:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to -x_{0}} x = \lim_{n \to +x_{0}} x \end{eqnarray*}$

Frage 1: Ist eine Funktion also in einem Punkt stetig wenn dort auch ein Grenzwert existiert?

Nun habe ich eine Aufgabe vorzuliegen in der verlangt wird die Stetigkeit einer Funktion zu beweisen (keine Rede von einem bestimmten Punkt)

Meine Ideen:
Ich habe keine Ahnung wie man die stetigkeit einer ganzen Funktion beweist. Mein Lehrmaterial und google helfen mir grade nicht weiter

27.03.2016, 22:14

MeMeansMe

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RE: Funktion: Stetigkeit und Grenzwert an einem bestimmten Punkt
Hey,

Zitat:

Wenn ich die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ nachweisen will, gehe ich wie folgt vor:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to -x_{0}} x = \lim_{n \to +x_{0}} x \end{eqnarray*}$

Zwei Dinge: erstens musst du schauen, ob links- und rechtsseitiger Grenzwert gleich sind (das meinst du hiermit, aber das sagst du nicht) und zweitens musst du zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to -x_{0}} f(x) = \lim_{n \to +x_{0}} f(x) \end{eqnarray*}$

für eine Funktion $\begin{eqnarray*} f : \mathbb{R}\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gilt (ich habe jetzt einfach mal angenommen, dass die Funktion von den reellen in die reellen Zahlen abbildet).

Zitat:

Frage 1: Ist eine Funktion also in einem Punkt stetig wenn dort auch ein Grenzwert existiert?

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist in einem Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig, wenn der Grenzwert der Funktion gegen den Wert $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ existiert und wenn dazu noch gilt, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0) \end{eqnarray*}$ .

Um die Stetigkeit einer ganzen Funktion zu zeigen, musst du zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Definitionsbereich der Funktion gilt, dass die Funktion dort stetig ist. Manchmal ist das mit der Epsilon-Delta-Definition einfacher (habt ihr die behandelt?). Außerdem hilft es zu wissen, dass beispielsweise Polynome immer stetig sind. Du könntest aber die Funktion auch mal posten, damit wir dir konkret weiterhelfen können smile

28.03.2016, 19:33

iamrickyspanish

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Dass ich die Stetigkeit für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in dem Definitionsbereich der Funktion nachweisen muss hab ich soweit verstanden.

Das Epsilon Delta Verfahren macht mir schwer zu schaffen.

Soweit mein Verständnis:

1. $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ definieren.

2. Epsilon-Umgebung auf der Y-Achse um den Funktionswert von $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ definieren

3. Um $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ eine Delta-Umgebung definieren.

4. Gucken ob alle Funktionswerte der x-Werte innerhalb der Delta-Umgebung auch innerhalb der Epsilon-Umgebung liegen.

Mal abgesehen davon dass ich nicht die geringste Ahnung habe wie ich das rechnerisch bewerkstellige (alle meine Unterlagen erklären das Prinzip aber zeigen keine einzige tatsächliche Rechnung) beschäftigt mich folgendes:

Wie wähle ich $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ (willkürlich?) und wie groß wähle ich mein Epsilon und Delta für die jeweiligen Umgebungen??

Mal angenommen ich habe eine unstetige Funktion welche auf der y-Achse einen Sprung von 0,0000001 in positiver richtung macht.

1. um überhaupt die unstetigkeit zu entdecken müsste mein $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ bzw. die damit verbundene Delta-Umgebung die Stelle an dem der Sprung passiert einschließen - Ich weiß doch aber gar nicht an welcher Stelle im Definitionsbereich der Sprung passiert

2. Selbst wenn mir der Funktionswert an dem der Sprung passiert bekannt wäre, so ist mir ja normalerweise nicht bekannt wie groß der Sprung auf der y-Achse ist (kann ja beliebig klein sein, oder?).

zu 2.: daraus folgt in meinem Verständnis das Problem dass ich bei einer zu groß gewählten Epsilon-Umgebung (besonders wenn der Sprung sehr klein ist) troz der Unstetigkeit alle Funktionswerte in einer gewählten Delta-Umgebung auch innerhalb meiner Epsiolon-Umgebung abbilden kann.
Damit würde der Sprung und somit die Unstetigkeit unentdeckt bleiben.

Und selbst wenn ich all diese Dinge verstehen würde: Habe ich am Ende nicht einfach nur eine Aussage über die Stetigkeit/Unstetigkeit innerhalb meiner Delta-Umgebung gemacht?
Wie schließe ich daraus auf die gesamte Funktion (dessen Definitions- und Wertebereich sich in der mir vorliegenden Aufgabe über den gesamten Bereich der reelen Zahlen erstrecken - also unendlich)

PS: Die Funktion in meiner Aufgabe ist ein Polynom aber diese Begründgung zur Stetigkeit wird meinen Mathe-Prof nicht reichen

Sorry für den langen Text.

29.03.2016, 10:25

MeMeansMe

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Hey,

ich gehe jetzt nicht auf jeden deiner Punkte einzeln ein, weil man es eigentlich einfach zusammenfassen kann. Du hast Recht, wenn du sagst, dass ein kleiner Sprung bei schlecht gewähltem Epsilon unentdeckt bleiben würde, aber deshalb wählst du sowohl das Delta als auch das Epsilon willkürlich. Die einzige Einschränkung ist, dass die beide größer Null sein müssen. Und wenn du auch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , die du für den Epsilon-Delta-Ansatz benötigst, willkürlich wählst, zeigst du die Stetigkeit für alle Punkte im Definitionsbereich, grob gesagt.

Du könntest auch beweisen, dass jedes Polynom stetig sein muss. Dafür musst du dich fragen, wieso die Linearkombination stetiger Funktionen auch wieder stetig ist. Das geht relativ leicht über die Folgendefinition von Stetigkeit.

29.03.2016, 10:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von MeMeansMe
aber deshalb wählst du sowohl das Delta als auch das Epsilon willkürlich.

Bevor das irgendwie mißverstanden wird, noch ein paar Worte dazu:
Im Grund wird das epsilon gar nicht irgendwie gewählt. Die epsilon-delta-Definition der Stetigkeit verlangt, daß für jedes (und die Betonung liegt auf "jedes") epsilon > 0 ein delta > 0 existiert, so daß der weitere Inhalt in der Stetigkeits-Definition erfüllt ist. Die eigentliche Aufgabe ist also, zu jedem beliebigen epsilon (dessen Wert man nicht kennt) ein passendes delta zu finden.

29.03.2016, 12:43

iamrickyspanish

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Ok. Also erstmal Danke für eure Geduld und Hilfe.

Ich muss an diesem Punkt kapitulieren....

Wenn ich all diese Werte willkürlich wähle...
...wie kann ich dann eine Aussage über die Stetigkeit in jedem Punkt von minus unendlich bis plus unendlich machen? Ich versteh den Zusammenhang nicht muss an der Stelle sagen dass ich nicht mehr viel Zeit habe mich auf die Prüüfung vorzubereiten und für solche Schlussfolgerungen leider nicht die nötigen kognitiven Fähigkeiten besitze.

Das hier ist die Funktion für die ich die Stetigkeit beweisen muss:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{3} + 4x^{2} + 6x + 2 \end{eqnarray*}$

Wie würdet ihr hier anfangen? (vielleicht wird es mir an einem Beispiel klarer und wenn nicht dann scheiß drauf - ich lern die Arbeitsschritte einfach auswendig)

29.03.2016, 12:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von iamrickyspanish
Wenn ich all diese Werte willkürlich wähle...
...wie kann ich dann eine Aussage über die Stetigkeit in jedem Punkt von minus unendlich bis plus unendlich machen?

Indem du eine beliebige Stelle x_0 betrachtest.

Zitat:

Original von iamrickyspanish
Das hier ist die Funktion für die ich die Stetigkeit beweisen muss:

Das Problem bei solchen Aufgaben ist, daß leider nicht klar ist, welche Eigenschaften / Regeln bezüglich der Stetigkeit verwendet werden dürfen. Denn meistens wird bei der Stetigkeit nicht auf die Definition zurückgegriffen, sondern auf schon bewiesene Sätze.

Einer der wesentlichen Sätze zur Stetigkeit besagt, daß die Summe bzw. das Produkt von stetigen Funktionen wieder eine stetige Funktion ist. Von daher sind grundsätzlich alle Polynome stetig.

29.03.2016, 12:59

Leopold

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Was heißt "beweisen"? Wenn du den Satz kennst, daß sich Stetigkeit bei den rationalen Operationen $\begin{align*} +, -, \cdot, : \end{align*}$ fortpflanzt, dann ist die Stetigkeit von $\begin{align*} f \end{align*}$ sofort klar, denn die konstanten Funktionen $\begin{align*} x \mapsto c \end{align*}$ und die Identität $\begin{align*} x \mapsto x \end{align*}$ sind trivialerweise stetig. Und jedes Polynom in $\begin{align*} x \end{align*}$ läßt sich aus konstanten Zahlen und $\begin{align*} x \end{align*}$ durch endlichmalige Anwendung von $\begin{align*} +, -, \cdot, : \end{align*}$ erzeugen. Die ersten vier Terme unten bestimmen stetige Funktionen (Startfunktionen). Jeder weitere Term wird aus den vorigen erzeugt durch Anwendung von $\begin{align*} +, -, \cdot, : \end{align*}$ . Dabei bleibt die Stetigkeit erhalten.

$\begin{align*} x \end{align*}$

$\begin{align*} 2 \end{align*}$

$\begin{align*} 4 \end{align*}$

$\begin{align*} 6 \end{align*}$

$\begin{align*} x \cdot x = x^2 \end{align*}$

$\begin{align*} x^2 \cdot x = x^3 \end{align*}$

$\begin{align*} 4 \cdot x^2 = 4x^2 \end{align*}$

$\begin{align*} 6 \cdot x = 6x \end{align*}$

$\begin{align*} x^3 + 4x^2 = x^3 + 4x^2 \end{align*}$

$\begin{align*} (x^3 + 4x^2) + 6x = x^3 + 4x^2 + 6x \end{align*}$

$\begin{align*} (x^3 + 4x^2 + 6x) + 2 = x^3 + 4x^2 + 6x + 2 \end{align*}$

So ausführlich macht man das nur einmal in seinem Leben. Von da ab ist klar: Alle (ganz)rationalen Funktionen sind stetig. Wie es klarsoweit schon gesagt hat.

29.03.2016, 13:04

iamrickyspanish

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Ok...hatte das so verstanden dass das Epsilon Delta Kriterium auf alle Funktionen anwendbar wäre. Darum versuche ich es krampfhaft zu verstehen :-(

Theoretisch:
Wenn ich den x-Wert 1 als mein $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ wähle und um dieses $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ Stetigkeit nachweise aber dann an der Stelle x = 10000000000000 ein Sprung auftritt (kann ich ja vorher nicht wissen) dann war mein Beweis an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ doch wertlos(?). Das ist es was ich nicht verstehe: Welche Gesetzmäßigkeit garantiert mir dass sich die Funktion in der Unendlichkeit (ich meine !!Unendlichkeit!!! - was weiß ich über die Unendlichkeit) immer gleich verhält? Gibt es da irgendeinen Satz oder Definition?

Wie auch immer:

Zitat:

Heißt das ich kann diese Aufgabe nicht lösen bevor man mir bestimmte Regeln gibt nach dem ich diese spezifische Aufgabe löse? WIe würdest du vorgehen wenn du diese FUnktion so ohne weiteres vor dir hättest?

29.03.2016, 13:06

iamrickyspanish

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Ah Danke Leopold.

Als ich meine letzte Antwort verfasst habe hattest du schon geantwortet :-)

Also einfach sagen : Polynom also ist so?

29.03.2016, 13:16

iamrickyspanish

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Ok, jetzt wirds kurios:

Habe den Lösungsweg meines Profs vor mir zu liegen:

hier gehts jetzt um Grenzwerte....

Lösung als Bild im Anhang.
Das sieht jetzt wesentlich komplizerter aus als "Polynom also ist so".

EIn Wort: Hilfe!!!!

29.03.2016, 13:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von iamrickyspanish
hier gehts jetzt um Grenzwerte....

Hier wurde die Stetigkeit einer Funktion über die Folgenkonvergenz definiert. Und bei der Folgenkonvergenz greift man auf die einschlägigen Grenzwertsätze zurück: Summen und Produkte konvergenter Folgen sind wieder konvergent.

Man kann es so machen, aber wie Leopold schon sagte: für Polynome macht man das nur einmal im Leben und dann nie wieder. smile

Und wie ich auch schon sagte: aus der Aufgabe muß klar hervorgehen, was man verwenden darf / soll und was nicht. Sonst tappen hier die Helfer auch nur im Dunkeln herum. smile

29.03.2016, 13:47

iamrickyspanish

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Ok, vielen Dank an dieser Stelle :-)

Folgenkonvergenz geht so weit klar. Werde das versuchen weiter im Zusammenhang m it Stetigkeit nachzuvollziehen. Wenn ich nicht weiterkomme melde ich mich nochmal :-)

Aber Danke schonmal bis hier hin!!!!

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