Fragen zu Lagrange, Gauss etc

28.03.2016, 11:42

Wullet

Fragen zu Lagrange, Gauss etc

Hallo zusammen, ich habe bald eine mündliche Prüfung und habe ein Problem mit einer bzw. einigen Aufgaben, ich hoffe, dass man mir hier weiter helfen kann.

Lagrange Aufgabe: M:= {(x,y,z) R^3 xy+1/2z^2 - 4 = 0} Mit Hilfe von Lagrange soll der Punkt (x*,y*,z*) bestimmt werden, mit minimalen Abstand zum Punkt (1,1,0) und der Abstand soll berechnet werden. Der Punkt (x*,y*,z*) existiert und muss nicht bewiesen werden.

Um ehrlich zu sein, habe ich absolut keine Ahnung, wie man hier vor gehen soll. Kenne Lagrange Aufgaben nur, dass man die NB prüft, dann die Existenz von Ausnahmepunkten (also grad (g) ungleich 0) und dann weiter auflöst. Hier stehe ich komplett auf dem Schlauch und würde mich freuen, wenn ich einige Tipps bekomme.

Gauss Frage: F(x,y,z) = 4x^2y + xyz - 3xz - z^3
Vekorfeld v sollte man bestimmen, so dass F(x) eine Stammfunktion ist.
Lösung: {8xy + yz - 3z ; 4x^2 + xz ; xy - 3x - 3z^2 }
Nun $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! v \, ds \end{eqnarray*}$ Das Integral geht über gamma.
gamma: [0,2pi] gamme (t) = (t sin (t)^2 ; cos (4t) + sind (4t) ; t (2t - 4pi))
Ich würde es über den Hauptsatz der Kurvenintegrale machen, aber hier stehe ich irgendwie auf dem Schlauch. Habe gamma einmal abgeleitet und müsste nun v(gamma(t) * ableitung von gamma rechnen, oder?

Dritte Aufgabe: Mit dem Satz von Gauss den Fluss v*do über den Körper K bestimmen, wobei der Normaleneinheitsvektor nach außen zeigt.
Körper K = { z>= 2 , 1<= y <= 3 , x^2 - 2x + $\begin{eqnarray*} \frac{(z-2)^2}{9} \end{eqnarray*}$ <= 0
Parameterdarstellung für x= 1+ r cos (phi) z= 2+ 3r sin (phi). Die Determinante wäre 3r, wenn man die Zylinderkoordinaten aufstellt und die Matrix bildet. Die Divergenz wäre nun 8y- 6 (3r sin (phi) + 2) 3r. Die Intergralgrenzen sind für dy {1,3} dphi {0, pi/2} (wieso? Komme irgendwie nicht drauf) r { 0, 2 cos(phi)} Komme ich auch nicht drauf. Ich muss doch meine x - Koordinate in meine Funktion einsetzen und nach r umstellen?
Habe jedenfalls das Integral berechnet und komme am Ende aber auf 64, was laut Wolframalpha aber nicht stimmt. Lade gleich meinen Rechenweg hoch, vielleicht findet jemand den Fehler.

Das war es erstmal, ich hoffe, dass mir jemand am Feiertag behilflich sein kann.

Gruß

28.03.2016, 12:18

Wullet

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RE: Fragen zu Lagrange, Gauss etc
Kann meinen obigen Beitrag nicht mehr editieren.
Habe in der Eile auch x^2 statt x² geschrieben Hammer

Dafür entschuldige ich mich schonmal an alle Helfer.

Leider kann ich meine Lösung nicht hochladen, da ich keine URLs posten darf und die Datei zu groß ist, um sie hier hochzuladen.
Aber ich habe die Aufgabe nochmal gründlich gerechnet und komme am Ende auf -8 - 18pi :/

28.03.2016, 12:57

Dopap

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Ich denke, dass ein Dateianhang möglich ist. siehe unten !

Versuch mal deine *.jpg (?) ins GIF oder PNG Format zu transformieren.

JPG Dateien sind sowieso für grafische Sachen mit Kanten etc. ungeeignet.

Optimal ist Latex:

code:
1:	[latex]x^{6x+5}[/latex]

= $\begin{eqnarray*} x^{6x+5} \end{eqnarray*}$

28.03.2016, 13:07

Wullet

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Danke für deine Antwort.
Die Datei war zu groß, aber habe sie verkleinert bekommen

[attach]41219[/attach].

Hoffe, dass man es erkennen kann.

Gruß

28.03.2016, 18:46

Mathema

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Herzlich Willkommen im Matheboard!

Deine Frage ist viel zu umfangreich. Bitte stelle pro Thread nur eine Aufgabe. Zudem solltest du unseren Formeleditor bzw. Latex benutzen. Du möchtest doch auch sicherlich eine gut lesbare Antwort bekommen, da ist es wohl selbstverständlich, sich auch etwas Mühe zu geben.

Ich würde also vorschlagen, dass es hier nun um Aufgabe 1 geht. Für andere Aufgaben erstelle bitte einen neuen Thread und beachte dabei, was ich oben geschrieben habe.

Bei Aufgabe 1 gilt es das Abstandsquadrat zu minimieren, also die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=\Vert (x,y,z)-(1,1,0)\|^2=(x-1)^2+(y-1)^2+z^2 \end{eqnarray*}$

unter der Nebenbedingung

$\begin{eqnarray*} g(x,y,z)=xy+\tfrac{1}{2}z^2-4=0 \end{eqnarray*}$

Dann also los.

PS: Hast du eigentlich eine Lösung zu dieser Aufgabe? Bei mir liegt der gesuchte Punkt bei $\begin{eqnarray*} (2,2,0) \end{eqnarray*}$ mit minimalen Abstand $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ . Kannst du (oder jemand anderes hier) das bestätigen?

28.03.2016, 19:31

Wullet

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Oh man, das war eine echt große Hilfe! Gott

Würde dir direkt ein Bier ausgeben! Big Laugh

Hier mal meine Lösung als Bild. Vielleicht könntest du ja mal drüber schauen und sagen, ob es richtig ist smile

Beim Abstand bin ich mir nicht sicher. Nimmt man den Wert den man heraus bekommt, wenn man die Punkte einsetzt oder die Werte in der Klammer, also $\begin{eqnarray*} \sqrt{ (2-1)²+(2-1)² } \end{eqnarray*}$ Dann würde ich auch Abstand $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ herausbekommen.

Wollte nicht das Forum mit mehreren Themen zu spamen, da dachte ich mir, dass ein Thema reicht. Werde gleich aber die anderen Aufgaben in einem neuen Thema eröffnen.

[attach]41222[/attach]

28.03.2016, 19:59

Mathema

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Gerne!

Der Abstand ist dann $\begin{eqnarray*} d=\sqrt{f(x,y,z)} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ - das stimmt. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, erfüllt für $\begin{eqnarray*} \lambda=-3 \end{eqnarray*}$ der Punkt $\begin{eqnarray*} (-2,-2,0) \end{eqnarray*}$ auch die notwendige Bedingung. Es fehlt dann also noch die hinreichende Bedingung, z. B. durch die geränderte Hesse-Matrix. Es ist also noch die Determinante für folgende Matrix zu untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \overline{H}=\begin{pmatrix} \frac{\partial ^2 \L}{\partial \lambda\partial \lambda} & \frac{\partial ^2 \L}{\partial \lambda\partial x} & \frac{\partial ^2 \L}{\partial \lambda\partial y}& \frac{\partial ^2 \L}{\partial \lambda\partial z} \\ \\ \frac{\partial ^2 \L}{\partial x\partial \lambda} & \frac{\partial ^2 \L}{\partial x \partial x} & \frac{\partial ^2 \L}{\partial x \partial y} & \frac{\partial ^2 \L}{\partial x \partial z} \\ \\ \frac{\partial ^2 \L}{\partial y\partial \lambda} & \frac{\partial ^2 \L}{\partial y \partial x} & \frac{\partial ^2 \L}{\partial y \partial y} & \frac{\partial ^2 \L}{\partial y \partial z}\\ \\ \frac{\partial ^2 \L}{\partial z\partial \lambda} & \frac{\partial ^2 \L}{\partial z \partial x} & \frac{\partial ^2 \L}{\partial z \partial y} & \frac{\partial ^2 \L}{\partial z \partial z} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.03.2016, 20:15

Wullet

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Okay, wenigstens habe ich die Aufgabe schon mal mit deiner Hilfe gelöst! Vielen, vielen dank smile

Hmm, also die notwendige Bedingung wäre erfüllt, wenn ich deine Werte einsetze, aber um ehrlich zu sein, komme ich gar nicht auf den Wert $\begin{eqnarray*} \lambda=-3 \end{eqnarray*}$ bzw. wüsste ich nicht wie. Habe gerade rumgerechnet und umgestellt, aber kam nichts sinnvolles bei raus.

Und geränderte Hesse-Matrix kam bei uns im Studium nicht vor. Denke, dass die erste Lösung richtig war.

28.03.2016, 20:23

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Man kann auch die Nebenbedingung nach $\begin{eqnarray*} z^2 \end{eqnarray*}$ auflösen und in die Zielfunktion einsetzen. Das liefert $\begin{eqnarray*} g(x,y)=(x-1)^2+(y-1)^2-2xy+8 \end{eqnarray*}$ Hier gibt es nur Randextrema auf der Kurve $\begin{eqnarray*} xy=4 \end{eqnarray*}$ und das liefert letztlich auch wieder die Bestapproximierende in (2,2,0)

28.03.2016, 20:45

Wullet

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Hmm, deine Lösung verwirrt mich ein wenig. Wieso weiß ich denn, dass es nur Randextrema auf $\begin{eqnarray*} xy=4 \end{eqnarray*}$ gibt? Wieso ignoriere ich den vorderen Teil des Terms? Und wie kommt man von $\begin{eqnarray*} xy=4 \end{eqnarray*}$ auf (2,2,0)? Übersehe ich etwas?

28.03.2016, 21:13

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Der Gradient von g hat keine Nullstelle, also bleiben nur Randextrema übrig. Von da ab ist es noch ein ganzer Weg bis zur Bestapproximierenden. Wenn du das nicht hinbekommst, ignoriere einfach meinen Beitrag. Er war nur als Alternative gedacht, schneller kommt man damit wohl auch nicht zum Ziel.
Welchen vorderen Teil?

28.03.2016, 21:20

Wullet

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Meinte den $\begin{eqnarray*} (x-1)² + (y-1)² \end{eqnarray*}$ Teil. Aber wie du schon sagtest, ich ignoriere den Beitrag lieber Big Laugh

Aber trotzdem vielen Dank für die Hilfe!

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