e^x ist an x=0 stetig (Folgenstetigkeit)

28.03.2016, 15:58

muff-in

e^x ist an x=0 stetig (Folgenstetigkeit)

Hallo,

Ich soll mit der Folgenstetigkeit beweisen, dass die Exponentialfunktion an x= 0 stetig ist.
So weit bin ich gekommen:

Sei $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ eine beliebige Nullfolge, d.h. $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_n = 0 \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt: Für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sodass für alle $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |a_n| < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Weiter folgt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } f(a_n) = \lim_{n \to \infty } e^{a_n} = e ^ {\lim_{n \to \infty } a_n} = 1 = e^0 \end{eqnarray*}$

Reicht das um zu beweisen dass exp an x= 0 stetig ist? Stimmt der Beweis überhaupt?

Danke!

28.03.2016, 20:09

Guppi12

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Hallo,

warum soll denn das zweite Gleichheitszeichen bei "Weiter folgt" gelten?

Tipp: Zeige zuerst, dass für kleine x gilt: $\begin{eqnarray*} |\exp(x)-1|\leq (e-1)|x| \end{eqnarray*}$ .

28.03.2016, 22:06

muff-in

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Hallo Guppi12,

Wie kommst du denn drauf, dass ich ausgerechnet das zeigen muss damit das zweite Gleichheitszeichen gilt?Ich versteh das nicht so richtig. verwirrt

Und warum ist das überhaupt falsch? (a_n) ist doch konvergent und kann beliebig klein werden, also könnte ich es doch so annehmen oder? verwirrt

28.03.2016, 22:33

Guppi12

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Zitat:

Wie kommst du denn drauf, dass ich ausgerechnet das zeigen muss damit das zweite Gleichheitszeichen gilt?Ich versteh das nicht so richtig. verwirrt

Das habe ich nicht gesagt, das zweite Gleichheitszeichen kannst du für den Beweis komplett vergessen. Dass das richtig ist, wird erst nach dem Beweis klar. Was ist denn deine Rechtfertigung für dieses Gleichheitszeichen?

Der Tipp sollte ein völlig neuer Ansatz sein.

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