Wie viele Lösungen hat die pi-te Wurzel aus 1?

28.03.2016, 20:46

gree

Wie viele Lösungen hat die pi-te Wurzel aus 1?

Meine Frage:
Wie viele Lösungen zu der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^{\pi}=1 \end{eqnarray*}$ gibt es?

Meine Ideen:
Ich weiß, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2=1 \end{eqnarray*}$ zwei Lösungen hat. Die Gleichungen $\begin{eqnarray*} x^3 = 1 \end{eqnarray*}$ drei Lösungen usw.

Also $\begin{eqnarray*} x^n = 1;\,n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Lösungen.

Aber was ist mit $\begin{eqnarray*} x^\pi=1 \end{eqnarray*}$ ? Da steh' ich echt auf dem Schlauch.

28.03.2016, 20:49

adiutor62

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wie viele Lösungen hat die pi-te Wurzel aus 1?
Es gibt noch komplexe Lösungen:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^pi%3D1

Link korrigiert. (Guppi12)

29.03.2016, 12:05

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne Wolfram:

$\begin{eqnarray*} z^{\pi} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^{\pi} = e^{i \cdot 2k\pi} \end{eqnarray*}$

Nun potenziere beidseits mit $\begin{eqnarray*} \frac 1 {\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

EDIT: Unrichtiges Statement entfernt.

mY+

29.03.2016, 14:20

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

So etwas haben Peitgen und Richter ("The beauty of fractals") in den 80ern mal untersucht, ich hatte mir nach der Lektüre ein kleines Programm geschrieben, um die Ergebnisse nachzuvollziehen.

Wenn man die komplexe Ebene durchwandert und die jeweilige Zahl als Startwert fürs Newton-Verfahren nimmt, sieht man, dass sich die die -1 noch recht lang als vierte Lösung "sperrt".

Bei $\begin{eqnarray*} x^3=1 \end{eqnarray*}$ ist die Welt noch in Ordnung, jeder komplexe Startwert konvergiert brav in eine der drei Lösungen. An den Grenzen wird zwar, wie leider üblich, gestritten, aber eine Lösung gewinnt immer, von ein paar Ausnahmen abgesehen:

[attach]41233[/attach]

Erhöht man nun den Exponenten, kommt aber eben nicht sofort die vierte Lösung als weitere Möglichkeit hinzu. Vielmehr wird es zunehmend unklarer, wohin der Bereich um -1 hinsoll. Bei Peitgen und Richter wurde das nett beschrieben, so in der Art, dass nachdem drei Mächte ihre Grenzen einigermaßen abgesteckt haben, plötzlich eine vierte dazukommt und auch etwas vom Kuchen haben will.

Für $\begin{eqnarray*} x^\pi=1 \end{eqnarray*}$ ist der Effekt zwar noch nicht so dramatisch:

[attach]41234[/attach]

Aber bei $\begin{eqnarray*} x^{3,8}=1 \end{eqnarray*}$ ist links alles in Aufruhr:

[attach]41235[/attach]

Jedoch ist von der "vierten Macht" noch nichts zu sehen. Erst ab jetzt kommt allmählich ein Bereich hinzu, der nicht in die drei bisherigen Lösungen mündet, sondern divergiert (genauer: sehr langsam in die vierte Lösung mündet). Und erst ab etwa $\begin{eqnarray*} x^{3,99}=1 \end{eqnarray*}$ wird auch die vierte Lösung "normal angesteuert", bis bei $\begin{eqnarray*} x^4=1 \end{eqnarray*}$ wieder alles in Ordnung ist:

[attach]25840[/attach]

Legt man also dieses Verfahren zugrunde, kann man sagen, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^\pi=1 \end{eqnarray*}$ nur drei Lösungen hat, nämlich dieselben wie $\begin{eqnarray*} x^3=1 \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße
Steffen

29.03.2016, 15:20

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mYthos
Die Lösungen von Wolfram sind NICHT vollständig, sondern nur jene von k = 0, 1, -1

Ansichtssache: Betrachtet man die Potenz als echte, d.h. einwertige Funktion

$\begin{align*} z^{\pi} := \exp\left( \pi\cdot \ln(z)\right) \end{align*}$

mit "nur" Hauptwert $\begin{align*} \ln(z) \end{align*}$ des Logarithmus (d.h. Imaginärteil des Funktionswertes im Intervall $\begin{align*} (-\pi,\pi] \end{align*}$ ), dann sind es tatsächlich nur die genannten drei Lösungen für $\begin{align*} k=0,1,-1 \end{align*}$ :

Denn z.B. für $\begin{align*} k=2 \end{align*}$ und damit dann $\begin{align*} z = e^{4i} \end{align*}$ hat man

$\begin{align*} \ln(z) = (4-2\pi)i \end{align*}$ und folglich $\begin{align*} z^{\pi} = e^{-2\pi^2 i} \neq 1 \end{align*}$ .

Ich bin auch der Meinung, dass man im Fall der "mehrwertigen" Interpretation

$\begin{align*} z^{\pi} := \exp\left( \pi\cdot \operatorname{Ln}(z)\right) \end{align*}$ mit $\begin{align*} \operatorname{Ln}(z) = \ln(z) + 2k\pi i \end{align*}$ für $\begin{align*} k\in\mathbb{Z} \end{align*}$

ja gar nicht über die Gleichung $\begin{align*} z^{\pi}=1 \end{align*}$ , sondern eher über $\begin{align*} 1\in z^{\pi} \end{align*}$ sprechen müsste...

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Und erst ab etwa $\begin{eqnarray*} x^{3,99}=1 \end{eqnarray*}$ wird auch die vierte Lösung "normal angesteuert"

Hmm, da es eine vierte Lösung hier ja noch gar nicht gibt, meinst du das wohl so:

Die Newton-Iteration pendelt zwischen den Anziehungsbereichen der beiden Punkte $\begin{align*} z_{1,2} = e^{\pm\frac{4}{3.99}\pi i} \end{align*}$ (die beides keine Lösungen der Gleichung $\begin{align*} z^{3.99}=1 \end{align*}$ sind) hin und her.

30.03.2016, 16:19

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Die Newton-Iteration pendelt zwischen den Anziehungsbereichen der beiden Punkte

Nein, da pendelt nichts. Je nach komplexem Startwert konvergiert die Iteration sicher in einen von drei Werten. Blau eingefärbte Zahlen konvergieren also zum Beispiel in die 1, rote und grüne dagegen in andere Werte auf dem Einheitskreis. Der Winkel der beiden letztgenannten ist beim Exponenten 3 noch +120° und -120° und wandert nun mit steigendem Exponenten auf +90° bzw. -90°.

Aber es konvergiert noch nichts in die -1. Das ist erst dann der Fall, wenn der Exponent sehr nahe bei 4 ist.

Mit jeweils derselben Iterationstiefe ergibt sich bei 3,850 für immer mehr Startwerte keine Konvergenz:
[attach]41243[/attach]

Bei 3,993 ist es dann ganz aus:

[attach]41244[/attach]

Und erst ab 3,996 konvergieren die ersten (gelben) Startwerte nun in die -1:

[attach]41245[/attach]

Viele Grüße
Steffen

Neue Frage »

Antworten »

Wie viele Lösungen hat die pi-te Wurzel aus 1?

Verwandte Themen