Fourier-Transformation: Transformationssätze Reihenfolge

28.03.2016, 23:14	OpaEder	Auf diesen Beitrag antworten »
Fourier-Transformation: Transformationssätze Reihenfolge Meine Frage: Hi, gegeben ist: $\begin{eqnarray} F(w)=\frac{10sin(w)}{w} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g(t)=0,1f(10t)e^{j5t} \end{eqnarray}$ Nun soll mit Hilfe der Transformationssätze G(w) herausgefunden werden. (Im folgenden steht $\begin{eqnarray} \vec{F} \end{eqnarray}$ einfach nur für den Fourier-Transformationsoperator) Ich verwende also für die 0,1 den Linearitätssatz: $\begin{eqnarray} \vec{F}(cf(t))=c\vec{F}(f(t)) \end{eqnarray}$ für die 10t den Ähnlichkeitssatz $\begin{eqnarray} \vec{F}(f(at))=\frac{1}{\|a\|}F(\frac{w}{a}) \end{eqnarray}$ und für die e-Funktion den Dämpfungssatz (Frequenzverschiebungssatz). $\begin{eqnarray} \vec{F}(e^{jw_{0}t}f(t))=F(w-w_{0}) \end{eqnarray}$ So weit, so gut. Mein Problem ist allerdings das ich nicht genau verstehe welche Reihenfolge ich einhalten muss. Der Linearitätssatz ist ja meines Erachtens egal, aber bei dem Ähnlichkeitssatz und dem Dämpfungssatz ist es mir nicht klar ob nun: Erster der Ähnlichkeitssatz und dann der Dämpfungssatz $\begin{eqnarray} G(w)=0,1\frac{1}{10}(\frac{10sin(\frac{w}{10}-5 )}{\frac{w}{10}-5}) \end{eqnarray}$ oder erster der Dämpfungssatz und dann der Ähnlichkeitssatz $\begin{eqnarray} G(w)=0,1\frac{1}{10}(\frac{10sin(\frac{w-5}{10} )}{\frac{w-5}{10}}) \end{eqnarray}$ richtig ist. Meine Ideen: Eine Idee habe ich nicht wirklich. Mein Gefühl sagt mir das erster der Ähnlichkeitssatz angewendet werden muss aber begründen kann ich es nicht so richtig. In meinen Büchern habe ich zu der Frage nichts gefunden und googeln brachte auch keinen Erfolg. Wahrscheinlich bin ich auch einfach nur wieder zu dämlich und es ist ganz einfach bzw. ich mach irgendetwas grundlegend Falsch. Passiert mir bei Mathe öfters :-D. Schon mal Vielen Dank :-)
29.03.2016, 05:50	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Reihenfolge ist egal, aber die Gesetze müssen richtig angewandt werden. Wendest du zuerst den Ähnlichkeitssatz an, so ist das f in dessen Formel nicht das f in deinem Ausdruck, sondern f mit der Exponentialfunktion multipliziert. Hier muss das Argument auch angepasst werden wenn du zuerst den Ähnlichkeitssatz anwenden willst. Als Übung würde ich das definitiv empfehlen, aber in der Praxis erst den Dämpfungssatz benutzen.
29.03.2016, 13:05	OpaEder	Auf diesen Beitrag antworten »
Also dann: $\begin{eqnarray} \vec{F}(f(at)e^{jw_{0}t})=\frac{1}{\|a\|}F(\frac{w}{a})e^{jw_{0}t} \end{eqnarray*}$
29.03.2016, 13:29	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Definiere $\begin{eqnarray} g(t) = f(t) e^{jw_0 \frac t a } \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} g(at) = f(at) e^{j w_0t} \end{eqnarray}$ . Nun kann man rechnen $\begin{eqnarray} \mathcal F (f(at) e^{j w_0t})(w) = \mathcal F( g(at))(w) = \frac 1 {\|a\|} \mathcal F(g(t) )(\frac w a) = \frac 1 {\|a\|} \mathcal F( f(t) e^{jw_0 \frac t a })(\frac w a) \end{eqnarray}$ .
29.03.2016, 16:14	OpaEder	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok mal sehen ob ich es verstanden habe: $\begin{eqnarray} \frac 1 {\|a\|}\mathcal F( f(t) e^{jw_0 \frac t a })(\frac w a) \end{eqnarray}$ Das bedeutet ich wende den Dämpfungssatz auf f(t) an. $\begin{eqnarray} \frac{10sin(w-\frac{w_{0}}{a}) }{w-\frac{w_{0} }{a} } \end{eqnarray}$ Und dann den Ähnlichkeitssatz: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\|a\|} (\frac{10sin(\frac{w}{a} -\frac{w_{0}}{a}) }{\frac{w}{a} -\frac{w_{0} }{a} }) \end{eqnarray}$ Mit eingesetzten Werten und multipliziert mit 0,1 kommt man dann auf: $\begin{eqnarray} \frac{sin(\frac{w-5}{10} )}{w-5} \end{eqnarray}$
29.03.2016, 16:34	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht komplett sauber aufgeschrieben, aber meinst das richtige. Und hier sieht man das es mit der Formel übereinstimmt, die man erhält, falls man zuerst "dämpft" und dann "ähnelt" (wie gesagt spielt die Reihenfolge keine Rolle, solange man die Regeln richtig anwendet.)
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29.03.2016, 16:40	OpaEder	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar vielen Dank Und wegen dem ordentlichen Aufschreiben gelobe ich Besserung.

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