Trigonometrie: Vermessungsaufgabe

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annerle Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrie: Vermessungsaufgabe
Meine Frage:
Von einem horizontalen Weg im Tal sieht man die Gipfel zweier Berge unter den Erhebungswinkeln 33? und 37,44? übereinander. Geht man 1 km auf die Berggipfel zu, so
decken sie sich und erscheinen unter dem gemeinsamen Erhebungswinkel von 45?. Wie weit sind die Gipfel voneinander entfernt?


Meine Ideen:
Bin mir nicht ganz sicher ob meine Skizze überhaupt richtig ist
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe keine Skizze.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Stelle dir vor, du stehst vor einem Gebirge und siehst vor dir zwei Berggipfel, genau hintereinander, vorne ein kleinerer Berg, dahinter ein größerer. Erstelle nach den Angaben der Aufgabe eine Zeichnung.
Du kannst dann versuchen, die Aufgabe mit den Winkelformeln am beliebigen Dreieck zu lösen. Du kannst aber auch nach besonderen Dreiecken in der Figur suchen und ähnlich wie gestern eine Lösung probieren. Am besten ist es, die Aufgabe nicht nur einmal, sondern auf verschiedene Arten zu lösen. Der Weg ist das Ziel. Die Lösung selbst ist zweitrangig.

Mein alter Beitrag vor der Bearbeitung:

Es ist zu beachten, daß die rechtwinkligen Dreiecke mit dem 45°-Winkel gleichschenklig sind, ihre Hypotenusen also Wurzel 2-mal so groß sind wie ihre Kathete (Diagonale im Quadrat). Die Differenz der Hypotenusen ist der gesuchte Abstand (Luftlinie).

Ich würde hier wie neulich wieder mit dem Tangens der von sulo lila und braun eingezeichneten Winkel arbeiten. Man kann damit die Katheten der gleichschenkligen Dreiecke berechnen. Mehr braucht man nicht.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Und ich dachte schon, ich wäre mit meiner Skizze zu nah an einer Komplettlösung ... unglücklich
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Naja - da habt ihr beide reichlich Ostereier verteilt, wenn ihr mich fragt. Meiner Meinung nach macht bei so einer Textaufgabe bestimmt 75% die Zeichnung aus. Das ist nach meiner Erfahrung für viele Schüler die schwierigste Aufgabe, den Text lesen und verstehen zu können. Wenn man die erstmal hat, überlegt man sich einen Weg zur Lösung (20%) und die eigentliche Rechnung ist denn in der Regel sehr einfach (5%), vorausgesetzt man kennt die notwendigen Sätze und kann sie umstellen (was in der 9./10. Klasse aber kein Problem mehr sein sollte).

Der Weg von Leopold ist sicherlich sehr hübsch und elegant, von 100 Schülern sehen das aber vielleicht einer (wenn ich tippen sollte). Von daher würde ich dir, annerle, auch noch mal raten eigene Ideen zu entwickeln und einen zweiten Weg zu beschreiten.

Ich verabschiede mich an dieser Stelle.

Wink
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe den Beitrag mit der Zeichnung entfernt.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ mathema

Ich gebe dir bis ins Detail mit deinen Prozentangaben recht. Insofern hat annerle in der Tat beinahe eine Komplettlösung bekommen (75 % von sulo, 20 % von mir). Zu meiner Verteidigung will ich darauf verweisen, daß annerle bereits gestern mit einer ähnlichen Aufgabe gekommen ist. Dabei ging sie mit den Winkelformeln beim beliebigen Dreieck an die Sache heran. Ich finde es aber immer schade, wenn man mit so schweren Geschützen angreift, wo man die Festung doch schon mit etwas List einnehmen kann. Ich versuche, Schüler darauf zu trainieren, verschiedene Methoden zu probieren und eine dem Problem angemessene Methode zu finden, statt immer dasselbe zu tun. Ich weiß, das sehen manche Nachhilfelehrer anders, die so lange mit ihren Schülern eine Methode üben, bis die Schüler gar nicht mehr anders können, als genau diese Methode anzuwenden. Das geht dann so weit, daß sie im rechtwinkligen Dreieck den Sinussatz anwenden, was natürlich auch nichts anderes liefert als die bekannten Formeln im rechtwinkligen Dreieck. Und meine Erfahrung lehrt: Schüler werden durch solchen Nachhilfunterricht nicht besser. Denn sie verstehen nicht, sie äffen nur nach. Und in der nächsten Klassenarbeit sind sie völlig hilflos, wenn die Aufgabe nicht wortwörtlich formuliert ist wie geübt.

Nun bin ich in meinem Bemühen, annerle von einer bloßen Routinelösung abzuhalten, übers Ziel hinausgeschossen, indem ich detailliert einen möglichen Lösungsweg beschrieben habe. Ich hätte vielleicht nur sagen sollen: "Schau dir die Aufgabe von gestern an und versuche, in der Figur Dreiecke zu erkennen, die von besonderer Art sind. Das kann dir helfen, eine clevere Lösung zu finden." Ich will mich bemühen, künftig vorsichtiger zu sein.
Allerdings habe ich auch Kritik an dieser Art von Aufgabenstellung zu üben. Immer wieder findet man darin Begriffe wie "Tiefenwinkel", "Höhenwinkel", "Erhebungswinkel", "Sehwinkel" und anderes solches Zeug. Ich verstehe, daß die Aufgabensteller nicht gleich eine Zeichnung geben wollen, weil sie eben die 75 % vom Schüler haben wollen. Nur sind gerade diese Begriffe nicht präzise definiert und, wie ich finde, auch nicht in jedem Fall selbsterklärend. Insofern verstehe ich sulo, daß sie mit einer Zeichnung nachhelfen wollte.
Aber gerade sehe ich, daß sulo ihren alten Beitrag bearbeitet hat. Das will ich dann auch tun.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold

Zitat:
Ich finde es aber immer schade, wenn man mit so schweren Geschützen angreift, wo man die Festung doch schon mit etwas List einnehmen kann. Ich versuche, Schüler darauf zu trainieren, verschiedene Methoden zu probieren und eine dem Problem angemessene Methode zu finden, statt immer dasselbe zu tun.


Da stimme ich dir bis ins kleinste Detail zu. Hätte ich diese Aufgabe in einer Klassenarbeit gestellt, und jemand hätte mir deine Lösung präsentiert, wäre ich der glücklichste Mensch. Das sind so diese Momente, wo man als Lehrer die Kraft von zehrt und hoch erfreut ist.
Von daher werde ich mir diese Aufgabe definitiv für das nächste Schuljahr merken, wenn Trigonometrie wieder auf dem Plan steht.

Zitat:
Das geht dann so weit, daß sie im rechtwinkligen Dreieck den Sinussatz anwenden, was natürlich auch nichts anderes liefert als die bekannten Formeln im rechtwinkligen Dreieck.


Da bekomme ich auch die Krise. Ebenso furchtbar ist es, wenn nach Behandlung der pq-Formel jede quadratische Gleichung gnadenlos damit gelöst wird. unglücklich

Zitat:
Am besten ist es, die Aufgabe nicht nur einmal, sondern auf verschiedene Arten zu lösen. Der Weg ist das Ziel. Die Lösung selbst ist zweitrangig.


Würde jeder Schüler so an eine Aufgabe herangehen, wäre viel gewonnen! Wahre und schöne Worte (wie man es hier ja von dir gewohnt ist).
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche einmal, die Aufgabe neu zu formulieren (ohne "Fachbegriffe", genauer: der Fachbegriff wird implizit erklärt):

Stelle dir vor, du befindest dich in einer Ebene und siehst vor dir zwei Berggipfel, der kleinere Berg vorne, der größere genau dahinter. Läßt du dein Auge von unten bis zu den Berggipfeln schweifen, bekommst du beim kleineren Berg einen Sehwinkel von und beim größeren einen Sehwinkel von . Wenn du 1 km weiter auf die Berge zugehst, siehst du die Gipfel unter demselben Sehwinkel .

a) Erstelle nach den Angaben der Aufgabe eine Skizze.

b) Was würde passieren, wenn du noch weiter auf die Berge zugehst?

c) Berechne, wie weit die Berggipfel voneinander entfernt sind (Luftlinie).

Lob, Kritik und Verbesserungsvorschläge erwünscht.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal finde ich es schade, dass annerle sich anscheinend nicht mehr meldet. Mich hätte sehr ihre Meinung zu der neu formulierten Aufgabenstellung interessiert. So bleibt es wohl ein netter Plausch unter uns.

Mir gefällt deine Aufgabenstellung sehr gut. Bei den Höhenwinkeln vom Grund aus, klappt deine Formulierung sehr gut. Bei Tiefenwinkeln oder erhöhter Position finde ich es schon schwieriger zu formulieren. Beispiel (aus meiner Aufgabensammlung, die durch deine Aufgabenstellung gerade bereichert wurde) :

Aus einem Fenster erblickt man den Fuß eines Schornsteins unter dem Tiefenwinkel 12° und die Spitze unter dem Höhenwinkel 40°. Das Fenster liegt 12m über dem Fuß des Schornsteins. Wie hoch ist er?

Wie würdest du das formulieren?

Blickt man aus einem Fenster gerade aus und lässt den Blick nun zur Spitze schweifen, so sieht man ...
Lässt man den Blick dagegen nach unten schweifen, so sieht man...

So vielleicht?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Der Schornstein hat einen Fuß und eine Spitze und damit eine Länge. Ein Fenster doch auch.
Und genau das ist hier das Problem: Was soll es bedeuten, wenn man sagt, das Fenster liege so und so hoch über dem Fuß des Schornsteins? Der Sims oder die Oberkante des Fensters? Wahrscheinlich ist das Fenster hier als punktförmig anzunehmen. Aber wozu dann von einem Fenster reden? Dann würde es doch genügen, von einem Auge zu reden, das man sich einfacher als punktförmig vorstellen kann.

Es ist halt sauschwer, diesen Aufgabentyp mathematisch präzise zu fassen und dabei auch noch verständlich zu formulieren.
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