Integralrechnung Funktionsgleichung ermitteln

29.03.2016, 16:53

noAhnung

Integralrechnung Funktionsgleichung ermitteln

Meine Frage:
Hallo Wink

Ich habe einen Ansatz zur folgenden Aufgabe:

Der Graph der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=2-ax^2 \end{eqnarray*}$ schließt für positive Werte von a mit den positiven Koordinatenachsen eine Fläche ein. Bestimmen Sie die Zahl a so, dass die eingeschlossene Fläche $\begin{eqnarray*} \frac{8}{3}FE \end{eqnarray*}$ groß ist.

Bin mir aber leider nicht ganz sicher, ob der überhaupt richtig ist.

Meine Ideen:
Zuerst habe ich aus der Funktion in die Normalform umgewandelt, die Normalform der Funktion wäre also diese: $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2-\frac{2}{a} \end{eqnarray*}$
Dann habe ich die Nullstellen berechnet, also
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{0}{2} \pm \sqrt{(\frac{0}{2})^2+\frac{2}{a}} \end{eqnarray*}$
Das ergibt
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\pm \sqrt{\frac{2}{a}} \end{eqnarray*}$
Da aber nur für positive Werte unsere Fläche berechnet werden sollen, interessiert uns nur unsere positive Nullstele, also $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2}{a}} \end{eqnarray*}$ , das wäre auch unsere obere Grenze für das Integral, Null wäre unsere untere Integralgrenze.

Dann würde ich integrieren:
$\begin{eqnarray*} I=\int_{0}^{\sqrt{\frac{2}{a}}} \! (2-ax^2) \, dx = [2x-\frac{1}{3}ax^3]_{0}^{\sqrt{\frac{2}{a}}}= 2*\sqrt{\frac{2}{a}}-\frac{1}{3}a*(\sqrt{\frac{2}{a}})^3=2*\sqrt{\frac{2}{a}}-\frac{1}{3}a*\frac{2}{a}*\sqrt{\frac{2}{a}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 2*\sqrt{\frac{2}{a}}-\frac{2}{3}*\sqrt{\frac{2}{a}}=\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{a}} \end{eqnarray*}$

Da ich nun weiß, dass die Gesamtfläche ja $\begin{eqnarray*} \frac{8}{3}FE \end{eqnarray*}$ , stelle ich die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}*\sqrt{\frac{2}{a}}=\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{16}{9}\frac{2}{a}=\frac{64}{9} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2*\frac{16}{9}=\frac{64}{9}a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{32}{9}*\frac{9}{64}=a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Kann denn das stimmen? smile

29.03.2016, 17:00

Steffen Bühler

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RE: Integralrechnung Funktionsgleichung ermitteln
Ja, das passt so. Nur die Nullstellen hättest Du etwas weniger umständlich berechnen können.

Viele Grüße
Steffen

29.03.2016, 17:05

noAhnung

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RE: Integralrechnung Funktionsgleichung ermitteln
Natürlich! Hammer

Jetzt sehe ich das auch. Durch einfaches Umstellen wäre ich auf genau das gleiche Ergebnis gekommen. Da steckte nur die Routine drin. Vielen Dank aber auf jeden Fall für die Antwort und die Zeit, die du dir genommen hast, um die Aufgabe zu kontrollieren! Gott

29.03.2016, 17:12

Mathema

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Und falls du in Zukunft mal selber deine Rechnung kontrollieren möchtest, kannst du ja einfach die Probe machen. Es wäre also (wenn du deine Lösung einsetzt) das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2} \! (-\tfrac{1}{2}x^2+2) \, \dd x \end{eqnarray*}$

zu berechnen gewesen.

PS: Musste etwas schmunzeln, als ich deine Rechnung gesehen habe. Ich hatte mich gerade eben erst hier dazu geäußert. Augenzwinkern

29.03.2016, 17:30

Leopold

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Zitat:

Original von Mathema
PS: Musste etwas schmunzeln, als ich deine Rechnung gesehen habe. Ich hatte mich gerade eben erst hier dazu geäußert. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Mathema (aus dem von ihm angegebenen Link)
Da bekomme ich auch die Krise. Ebenso furchtbar ist es, wenn nach Behandlung der pq-Formel jede quadratische Gleichung gnadenlos damit gelöst wird. unglücklich

Jetzt hoffe ich, daß du trotzdem gelassen bleibst. Augenzwinkern

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