Optimierung: Gleichungssystem Rotationsmatrizen

29.03.2016, 19:00	AndreasB	Auf diesen Beitrag antworten »
Optimierung: Gleichungssystem Rotationsmatrizen Hallo Gegeben sind mehrere (ich nehme an es sind mindestens 3 notwendig) Rotationen im dreidimensionalen Raum. Ich habe mich zunächst auf die Repräsentation als $\begin{eqnarray} 3 \times 3 \end{eqnarray}$ Rotationsmatrizen $\begin{eqnarray} R_i \end{eqnarray}$ fokussiert (Alternativen sind auch denkbar, doch ich denke nicht, dass sie besser wären.). Die möglichen Rotationen sind beschränkt, sodass es für alle Matrizen einen gemeinsamen Vektor $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ gibt, der von allen Matrizen auf die gleiche Ebene mit Normale $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ abgebildet wird. Ich suche somit $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ und/oder $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ (Aus dem einen das andere zu berechnen ist eine Kleinigkeit). Ich weiß also: $\begin{eqnarray} \forall i: (R_i \cdot v) \cdot n = 0 \end{eqnarray}$ Ich könnte das ausmultiplizieren und würde ein Problem der Form $\begin{eqnarray} A \cdot x = 0 \end{eqnarray}$ erhalten, wobei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ 9 Spalten hätte und $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ 9 Zeilen. Dies wäre sehr redundant, zudem bräuchte ich plötzlich 9 Matrizen. Für 3 Matrizen kann man das Problem auch so formulieren: $\begin{eqnarray} ((R_1 \cdot v) \times (R_2 \cdot v)) \cdot (R_3 \cdot v) =0 \end{eqnarray}$ Wie kann man das Problem am effizientesten lösen? Im Moment denke ich über eine numerische Lösung über einen Gradientenabstieg nach. Im letzten Schritt wird es um eine Lösung mit minimalen quadratischen Fehler gehen, denn die Rotationsmatrizen können etwas Rauschen beinhalten. Aber soweit sehe ich mich nicht. Danke!
05.04.2016, 00:45	AndreasB	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das Problem vorläufig durch ausmultiplizieren der ersten Gleichung gelöst: $\begin{eqnarray} A \cdot \begin{pmatrix} v_1 \cdot n_1 \\ v_2 \cdot n_1 \\v_3 \cdot n_1<br /> v_1 \cdot n_2 \\ v_2 \cdot n_2 \\v_3 \cdot n_2<br /> v_1 \cdot n_3 \\ v_2 \cdot n_3 \\v_3 \cdot n_3<br /> \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ Wobei die $\begin{eqnarray} v_ \end{eqnarray}$ die Elemente des $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ Vektors sind und $\begin{eqnarray} v_* \end{eqnarray}$ die Elemente des $\begin{eqnarray} n_* \end{eqnarray}$ Vektors. $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ is eine $\begin{eqnarray} 9 \times 9 \end{eqnarray}$ Matrix, wobei jede Zeile mit den 9 Elementen einer Rotationsmatrix gefüllt wird. Diese Lösung hat zwei wesentliche Nachteile: 1) Das Gleichungssystem beinhaltet drei verschiedene $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray*}$ Vektoren, alle etwas unterschiedlich orientiert. Ich nutze nun die Summe (wobei ich darauf achte, dass ich grundsätzlich die Richtige Richtung summiere, als ggf. invertiere). Das Ergebnisse ist dennoch nicht das optimale (im Sinne des MSE), doch nahe dran. 2) Ich benötige 9 Stichproben, dies geht allerdings gegen das Konzept des RANSAC-Algorithmus, den ich an dieser Stelle nutze und ist folglich mit Nachteilen verbunden. Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand einen Verbesserungsvorschlag hätte.
24.04.2016, 12:10	AndreasB	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider funktioniert das nicht so ganz, immerhin geht die Information darüber, dass ich nur ein v habe verloren. In der Simulation ist alles ok, doch wenn die Eingabedaten verrauscht sind, dann passt es nicht mehr so gut.

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