Obere Grenze einer Reihe bestimmen

29.03.2016, 19:24

cmplx96

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Obere Grenze einer Reihe bestimmen

Meine Frage:
Hallo Zusammen,

ich habe eine Aufgabe zu der mir leider der Ansatz fehlt.
Gegeben ist die Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$
Die Aufgabenstellung lautet:
Wie groß muss n gewählt werden, damit die Reihe den Wert 0.01 annährt?

Meine Ideen:
Ich habe intuitiv einfach mal das Integral:
$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{m} \! \frac{1}{k^2} \, dx \end{eqnarray*}$ berechnet und das Ergebnis mit 0.01 gleichgesetzt.
Leider kommt auf diese Weise für n = $\begin{eqnarray*} \frac{100}{99} \end{eqnarray*}$ heraus. Der Wert der Reihe wäre damit aber 1.
Ich hoffe mir kann jemand helfen!
LG cmplx96

29.03.2016, 19:45

005

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RE: Obere Grenze einer Reihe bestimmen

Zitat:

Original von cmplx96
Die Aufgabenstellung lautet:
Wie groß muss n gewählt werden, damit die Reihe den Wert 0.01 annährt?

Das ist so voelliger Bloedsinn, denn schon der erste Summand ist 1 und alle weiteren positiv.

Sinnvoll waere etwa zu fragen, ab wann der Abbruchfehler < 0,01 ist. Aber das musst Du wissen.

29.03.2016, 20:23

HAL 9000

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@cmplx96

Der Antwort von 005 ist kaum etwas hinzuzufügen. Nenne doch bitte den Originalwortlaut der Aufgabenstellung - deine offenkundig sinnentstellte Umformulierung oben ist jedenfalls in Gänze unbrauchbar.

29.03.2016, 20:34

cmplx96

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Der originale Wortlaut ist:
"Wir möchten den Wert der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ auf 0,01 = 1/100 genau bestimmen. Wie groß muss m gewählt werden, damit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{m} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ den Wert annähert?
Bem.: Die Vorr. und Konvergenz gemäß Integralvergleichskriterium brauchen Sie nicht zeigen."

29.03.2016, 20:52

HAL 9000

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D.h. genau wie von 005 vermutet:

Auf (!) 0.01 genau bestimmen. D.h., es soll ein $\begin{align*} m \end{align*}$ so bestimmt werden, dass der Reihenrest

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} ~-~ \sum_{k=1}^m \frac{1}{k^2} = \sum_{k=m+1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \end{align*}$

garantiert kleiner als 0.01 ist. Jetzt kannst du dein Integralvergleichskriterium anwenden.

29.03.2016, 21:06

cmplx96

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Erstmal vielen Dank für die Hilfe!
Ist der Ansatz dann:
$\begin{eqnarray*} \int_{k=m+1}^{\infty} \! \frac{1}{k^2} \, dx \end{eqnarray*}$ = 0,01 ?

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29.03.2016, 21:51

HAL 9000

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Nein. Was bitte soll $\begin{align*} \int_{k=m+1}^{\infty} \frac{1}{k^2} ~ \dd x \end{align*}$ überhaupt bedeuten? Integrationsvariable $\begin{align*} x \end{align*}$ , dann ein "in der Luft schwebendes" $\begin{align*} k \end{align*}$ ... in der Komposition irgendwie unüberlegt, Unsinn.

Ziel ist doch, den Reihenrest $\begin{align*} \sum_{k=m+1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \end{align*}$ durch ein Integral $\begin{align*} \int\limits_{?}^{\infty} \frac{1}{x^2}~ \dd x \end{align*}$ abzuschätzen. Aber wie? Nach oben, nach unten, mit welcher Wahl der unteren Integrationsgrenze, die ich deswegen vorerst mal noch offen gelassen habe...

29.03.2016, 22:06

cmplx96

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=m+1}^{\infty } \frac{1}{k^2} = \int_{m+1}^{\infty } \! \frac{1}{k^2} \, dk = \lim_{R \to \infty } \int_{m+1}^{R} \! \frac{1}{k^2} \, dk \end{eqnarray*}$
und das Ergebnis dann mit 0,01 gleichsetzen?
Ich finde gerade leider keinen anderen Zugang zu dieser Aufgabe

29.03.2016, 22:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von cmplx96
Bem.: Die Vorr. und Konvergenz gemäß Integralvergleichskriterium brauchen Sie nicht zeigen."

Wenn du das so schreibst, dann hast du doch dieses Integralsvergleichskriterium kennengelernt. Sind Reihenwert und Integralwert da wirklich gleich - oder geht es da um eine Ungleichungsabschätzung?

29.03.2016, 22:24

cmplx96

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=m+1}^{\infty } \frac{1}{k^2} \geq \int_{m+1}^{\infty } \! \frac{1}{k^2} \, dk = \lim_{R \to \infty } \int_{m+1}^{R} \! \frac{1}{k^2} \, dk \end{eqnarray*}$
Ist das so richtig abgeschätzt? oder muss ich die indizes/grenzen noch verändern?

29.03.2016, 22:41

Leopold

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Darf ich ein Bild zur Klärung beisteuern?

[attach]41238[/attach]

30.03.2016, 13:22

Leopold

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Ich antworte hier auf einen Beitrag von HAL 9000 anderswo, weil er besser zum Thread hier paßt. Es geht mir darum, woher die sinnlose Aufgabenformulierung vom Anfang herkommt. Dazu habe ich eine Theorie: In der Sprache gilt nun mal nicht das Assoziativgesetz.

Aufgabenstellung (vom Fragesteller korrigiert):

Wir möchten den Wert der Reihe $\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \end{align*}$ auf 0,01 = 1/100 genau bestimmen. Wie groß muß m gewählt werden, damit $\begin{align*} \sum_{k=1}^m \frac{1}{k^2} \end{align*}$ den Wert annähert?

Ich vermute, daß das immer noch nicht richtig wiedergegeben ist. Am Ende würde man doch eher etwas erwarten wie "... den Wert entsprechend annähert?" oder "... den Wert mit dieser Genauigkeit annähert?" Aber lassen wir das.

korrekte Interpretation:

Wir möchten den Wert der Reihe $\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \end{align*}$ auf 0,01 = 1/100 genau bestimmen. Wie groß muß m gewählt werden, damit $\begin{align*} \sum_{k=1}^m \frac{1}{k^2} \end{align*}$ den Wert annähert?

Interpretation des Fragestellers (nach meiner Theorie):

Wir möchten den Wert der Reihe $\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \end{align*}$ auf 0,01 = 1/100 genau bestimmen. Wie groß muß m gewählt werden, damit $\begin{align*} \sum_{k=1}^m \frac{1}{k^2} \end{align*}$ den Wert annähert?

Natürlich ergibt diese Interpretation keinen Sinn: Eine konvergente Reihe hat einen bestimmten Wert und nicht einen variablen Wert, den man mal so, mal so bestimmen kann. Ich will den Fragesteller auch gar nicht verteidigen. Nach Absolvieren eines Gymnasiums sollte man die Fachsprache so weit beherrschen, daß man weiß, was "auf 0,01 genau" bedeutet. Ich versuche nur, den Fragesteller zu verstehen: Woher kommt der Unsinn? Und da habe ich eine Theorie dazu geliefert. Kann natürlich alles falsch sein ...

Vielleicht kann cmplx sich ja dazu äußern, wie er zu seiner Formulierung kam.

30.03.2016, 13:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von cmplx96
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=m+1}^{\infty } \frac{1}{k^2} \geq \int_{m+1}^{\infty } \! \frac{1}{k^2} \, dk \end{eqnarray*}$
Ist das so richtig abgeschätzt?

Die Abschätzung an sich stimmt, und das Integral rechts lässt sich auch noch konkret ausrechnen: $\begin{align*} \int\limits_{m+1}^{\infty } \frac{1}{k^2} ~ \dd k = \frac{1}{m+1} \end{align*}$ .

In Hinblick auf die Aufgabenlösung brauchst du aber eher eine Abschätzung in die andere Richtung, d.h. $\begin{align*} \sum\limits_{k=m+1}^{\infty } \frac{1}{k^2} \leq \int \ldots \end{align*}$ ,

denn wenn du für diesen (wiederum in Abhängigkeit von $\begin{align*} m \end{align*}$ darstellbaren) Integralwert rechts ein $\begin{align*} m \end{align*}$ so angeben kannst, dass der Integralwert $\begin{align*} \leq 0.01 \end{align*}$ , so trifft das wie gewünscht erst recht auch für den Reihenrest zu - und das ist ja letztlich unser Ziel!

30.03.2016, 20:35

cmplx96

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von cmplx96
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=m+1}^{\infty } \frac{1}{k^2} \geq \int_{m+1}^{\infty } \! \frac{1}{k^2} \, dk \end{eqnarray*}$
Ist das so richtig abgeschätzt?

Die Abschätzung an sich stimmt, und das Integral rechts lässt sich auch noch konkret ausrechnen: $\begin{align*} \int\limits_{m+1}^{\infty } \frac{1}{k^2} ~ \dd k = \frac{1}{m+1} \end{align*}$ .

In Hinblick auf die Aufgabenlösung brauchst du aber eher eine Abschätzung in die andere Richtung, d.h. $\begin{align*} \sum\limits_{k=m+1}^{\infty } \frac{1}{k^2} \leq \int \ldots \end{align*}$ ,

denn wenn du für diesen (wiederum in Abhängigkeit von $\begin{align*} m \end{align*}$ darstellbaren) Integralwert rechts ein $\begin{align*} m \end{align*}$ so angeben kannst, dass der Integralwert $\begin{align*} \leq 0.01 \end{align*}$ , so trifft das wie gewünscht erst recht auch für den Reihenrest zu - und das ist ja letztlich unser Ziel!

Die Aufgabenstellung habe ich 1 zu 1 von dem Übungsblatt abgeschrieben.
Von Abschätzungen habe ich in der Schulzeit - trotz Mathe Lk - leider nie etwas gehört.
Ich bin auch erst im zweiten Semester, von daher entschuldige ich mich für Unklarheiten. Aber ich gebe mir Mühe.

30.03.2016, 20:41

cmplx96

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@HAL 9000

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=m+1}^{\infty } \frac{1}{k^2} \leq \int_{m+1}^{\infty } \! \frac{1}{k} \, dk \end{eqnarray*}$

komme ich der Sache so etwas näher?

30.03.2016, 22:17

Leopold

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Ich vermute einmal, daß das fehlende Quadrat beim Integral ein Schreibfehler ist. Aber auch dann wäre es falsch, wie ein Blick auf die Graphik aus meinem vorigen Beitrag zeigt.
Bitte nenne die Integrationsvariable nicht $\begin{align*} k \end{align*}$ . Zwar gibt es kein ausdrückliches Verbot für so etwas. Es widerspricht aber dem allgemeinen Gebrauch.

30.03.2016, 22:34

cmplx96

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=m+1}^{\infty } \frac{1}{k^2} \leq \int_{m}^{\infty } \! \frac{1}{x^2} \, dx \end{eqnarray*}$
und so ?

30.03.2016, 22:48

Leopold

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Jetzt stimmt es. Was wieder einmal zeigt: Eine Skizze sagt mehr als tausend Worte. Versuche, wo immer es möglich ist, eine Situation zu veranschaulichen. Es hilft dir auf jeden Fall beim Argumentieren.

30.03.2016, 23:09

cmplx96

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Alles klar, vielen Dank!

Die Lösung des Integrals ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m} = \frac{1}{100} \Rightarrow m = 100 \end{eqnarray*}$
Ist das die Lösung der Aufgabe?

30.03.2016, 23:45

HAL 9000

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Wenn du das fragen musst, hast du es noch nicht verstanden - rekapituliere, wo du durch die Integralabschätzung stehst:

$\begin{align*} \sum_{k=101}^{\infty} \frac{1}{k^2} < \frac{1}{100} = 0.01 \end{align*}$ ,

und ja, genau das wollten wir erreichen.

31.03.2016, 07:48

Leopold

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[attach]41252[/attach]

31.03.2016, 09:29

HAL 9000

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Mit der noch genaueren Reihenrestabschätzung

$\begin{align*} \sum_{k=m+1}^{\infty} \frac{1}{k^2} < \sum_{k=m+1}^{\infty} \frac{1}{k^2-\frac{1}{4}} = \sum_{k=m+1}^{\infty} \left( \frac{1}{k-\frac{1}{2}} - \frac{1}{k+\frac{1}{2}} \right) = \frac{2}{2m+1} \end{align*}$

werden diese numerischen Werte erst recht plausibel (eine Abschätzung gleicher bzw. besserer Güte auch nach unten ist indes etwas aufwändiger).

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