Differentialgleichungen, Nullstelle bei Anfangswert

30.03.2016, 11:33	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichungen, Nullstelle bei Anfangswert Hallo, Ich habe eine Frage zur Theorie der Dgl.: Wenn eine autonome Dgl. erster Ordnung gegeben ist: $\begin{eqnarray} \frac{dx}{dt}= f(x), x(0)=x_0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f \in C(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ Warum ist dann für $\begin{eqnarray} f(x_0)=0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} x(t)=x_0 \forall t \end{eqnarray}$ eine Lösung? Ich verstehe, dass wegen $\begin{eqnarray} f(x_0)=0 \end{eqnarray}$ die Steigung an 0 0 sein muss denn $\begin{eqnarray} x'(0)=f(x(0))=f(x_0)=0 \end{eqnarray}$ und dies erfüllt $\begin{eqnarray} x(t)=x_0 \end{eqnarray}$ . Aber ich weiß doch nicht über andere Werte von f bescheid um zu sagen, ob es sich bei $\begin{eqnarray} x(t)=x_0 \end{eqnarray}$ um eine Lösung handelt...? Würde mich über Aufklärung freuen! Liebe Grüße, MaGi
30.03.2016, 12:03	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichungen, Nullstelle bei Anfangswert Eine Funktion $\begin{eqnarray} x : \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray}$ löst die Differentialgleichung $\begin{eqnarray} \begin{cases} \frac {dx}{dt} = f(x) \\ x(0) = x_0 \end{cases} \end{eqnarray}$ , wenn eben beide Bedingungen erfüllt sind. Für die Anfangswerte $\begin{eqnarray} x(0) = x_0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ irrelevant und offenbar erfüllt $\begin{eqnarray} x(t) = x_0 \end{eqnarray}$ ebenso die Differentialgleichung, d.h. es ist eine Lösung. Ohne mehr Informationen an $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ kann es gut sein, dass es noch andere Lösungen gibt -- momentan hat man keine Chance etwas darüber auszusagen, ohne die Funktionswerte von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ alle zu kennen. Aber zum überprüfen, ob $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ eine Lösung ist, muss man $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nur auf dem Bild von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ kennen -- und das ist hier ein Punkt.
30.03.2016, 18:04	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichungen, Nullstelle bei Anfangswert Vielen Danke für die Erklärung, sehr hilfreich!

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