Galoisgruppe eines Polynoms bestimmen

30.03.2016, 11:40	Ameise2	Auf diesen Beitrag antworten »
Galoisgruppe eines Polynoms bestimmen Meine Frage: Hallo, meine Aufgabe ist es die Galoisgruppe eines Polynoms zu bestimmen. Ebenso soll ich auf die Lösbarkeit des Polynoms über die Galoisgruppe schließen. Allerdings weiß ich noch nicht so recht, was ich dabei alles zu tun habe. Polynom: $\begin{eqnarray} f(x)=4x^4+px^2+q \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Als erstes muss ich ja die Körpererweiterung bestimmen, also die Nullstellen dieses Polynoms, oder? - das wäre ja dann durch Substitution und der Binomischen Formel möglich, wie muss ich dann aber weiter vorgehen, bzw. wie komme ich auf die Galoisgruppe, die ja Abbildungen enthalten muss? Vielen Dank für eure Tipps
30.03.2016, 17:36	DrummerS	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Galoisgruppe eines Polynoms bestimmen Wie wäre es mit Teamwork? Ich kenne mich zwar mit Galoisgruppen nicht aus, bin jedoch gerade an diesem Thema interessiert. Für f(x) = 0 mit nachfolgender Substitution, Umformung und Resubstitution komme ich auf $\begin{eqnarray} x=\pm \sqrt{\pm \sqrt{\left( \frac{p}{8}\right)^{2}-q} - \frac{p}{8}} \end{eqnarray}$ Die innere Wurzel bleibt reell bei (1) und die äußere Wurzel bei (2): $\begin{eqnarray} \left\{\text{(1): } p\geq \pm \sqrt{q}+8 \text{, (2): } q = 0\right\} \Rightarrow f\left(x\right) = x^{2}\left(4x^{2}+p\right) \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} f \in \mathbb R \end{eqnarray}$ zerfällt das Polynom dann in die Linearfaktoren (hier gefunden unter "Definition"): $\begin{eqnarray} f\left(x\right) = 1 \cdot \left(x-0\right) \left(x-0\right)\left(x-\frac{\sqrt{p} }{2}\right)\left(x+\frac{\sqrt{p} }{2}\right) \text{ wobei } \xi_{1} = \xi_{2} = 0, \xi_{3} = -\xi_{4} = \frac{\sqrt{p} }{2} \end{eqnarray}$ Wurden hier die Zwischenkörper richtig bestimmt und wäre damit die Galoisgruppe = 4 , aufgrund 4 reeller Nullstellen, und der Zerfällungskörper $\begin{eqnarray} F=\mathbb Q\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}, \xi_{4}\right) \end{eqnarray}$ (siehe Ähnliches auch hier unter "Galoisgruppe eines kubischen Polynoms")?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »