Moivrescher Satz

30.03.2016, 11:43

Chemiestudent2,718

Moivrescher Satz

Meine Frage:

Hallo,

demnach gilt $\begin{eqnarray*} (e^{ix})^{n} = e^{nix} \end{eqnarray*}$ nur für natürliche Exponenten $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Warum nicht auch für reelle?
Es wird überall nur darauf hingewiesen aber immer ohne Begründung.
Der Beiweis mit Induktion funktioniert wohl nur mit natürlichem n, das muss aber doch nicht heißen, dass es für reelle n nicht stimmt. Oder?

Vielen Dank, wenn das jemand beantworten kann !
LG

Meine Ideen:
keine

30.03.2016, 11:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Chemiestudent2,718
Warum nicht auch für reelle?

$\begin{align*} x=2\pi, n=\frac{1}{2} \end{align*}$ :

$\begin{align*} \left(e^{ix}\right)^n = \left(e^{2\pi i}\right)^{\frac{1}{2}} = 1^{\frac{1}{2}} = 1 \end{align*}$

$\begin{align*} e^{nix} = e^{\pi i} = -1 \end{align*}$

30.03.2016, 14:20

Chemiestudent2,718

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Danke.
Ich sehe, das ist in diesem Fall ein Widerspruch und kann nicht sein.

Heißt das, dass es für beliebige reelle x und n eventuell falsch sein kann, aber nicht unbedingt immer Falsch sein muss ? (Wenn eben nicht gerade pi od ein genzzahliges Vielfaches davon im Exponenten überbleibt)

30.03.2016, 14:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Chemiestudent2,718
Heißt das, dass es für beliebige reelle x und n eventuell falsch sein kann, aber nicht unbedingt immer Falsch sein muss ?

Es gibt eine Menge Aussagen, die gelegentlich gelten ... wo es aber viel zu aufwändig bzw. unübersichtlich ist, dieses "gelegentlich" dann noch aufzuschlüsseln.

Beispiel: $\begin{align*} (1+x)^n \geq 1+nx \end{align*}$

Die Bernoullische Ungleichung besagt, dass (*) für alle reellen $\begin{align*} x\geq -1 \end{align*}$ sowie alle natürlichen Zahlen $\begin{align*} n \end{align*}$ gilt. Darüber hinaus gilt (*) auch noch für weitaus mehr Kombinationen (n,x), aber das ist nicht Gegenstand der Bernoullischen Ungleichung. Augenzwinkern

Wenn es dir Spaß macht, kannst du ja Kriterien aufstellen, was $\begin{align*} n,x \end{align*}$ erfüllem müssen, damit $\begin{align*} \left(e^{ix}\right)^n = e^{nix} \end{align*}$ gilt und was über die hinreichende Aussage des Satzes von Moivre hinausgeht... smile

30.03.2016, 15:26

mYthos

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Das genau war auch das Problem in diesem Thread

--> Wie viele Lösungen hat die pi-te Wurzel aus 1?

Deswegen habe ich das Statement jetzt dort entfernt!

mY+

30.03.2016, 16:08

klauss

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Interessantes Beispiel, wie gefährlich Intuition in der Mathematik sein kann, da allgemein gilt $\begin{eqnarray*} e^{nix}\neq 1 =e^{0} \end{eqnarray*}$ , obwohl Null is ja eigentlich nix.
Big Laugh

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