Vollständige Induktion

30.03.2016, 15:40

Spitzname!

Vollständige Induktion

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} 10^{n} + 3 * 4^{n+2} +5 \end{eqnarray*}$ durch 9 Teilbar

Meine Ideen:
1.)Anfang n=1: Teilbar durch 9
2.)Annahme $\begin{eqnarray*} 10^{n} + 3 * 4^{n+2} +5 \end{eqnarray*}$ durch 9 Teilbar
3.)Schluss n+1: $\begin{eqnarray*} 10^{n+1} + 3 * 4^{n+3} +5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => 10^{1} * 10^{n} + 3 * 4^{n+2} *4 +5 \end{eqnarray*}$

Wie geht es jetzt weiter? Hab versucht mit 10 zu erweitern, um 10 mal die Annahme zu bekommen. Dann geht der Rest aber nicht auf.

Danke

30.03.2016, 15:52

klauss

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RE: Vollständige Induktion
Bei dieser Aufgabe funktioniert auch der Tip (in erweiterter Form), den ich hier:
Voll. Induktion - Hilfe bei Aufgabe
ergänzend gegeben habe.

30.03.2016, 16:17

Mathema

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Wobei man auch hier festhalten kann, dass man auch mit einfachster Teilbarkeit zum Ziel gelangt und nicht gleich die große "Induktionskeule" schwingen muss.

31.03.2016, 10:10

Spitzname!2

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RE: Vollständige Induktion
Also so?
$\begin{eqnarray*} = (9+1) * 10^{n} + 3 * 4^{n+2} *4 +5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 9*10^{n} + 1*10^{n} + 3 * 4^{n+2} *4 +5 \end{eqnarray*}$

9 teilbar, Annahme teilbar, und 4+5 kann ich einfach zusammenrechnen trotz * ?

Und wenn ich die Variante mit n * Annahme genommen hätte müsste ich, jeden Teil, der mit einem + getrennt ist mit +9 und -9 multiplizieren?

31.03.2016, 15:51

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von Spitzname!2
und 4+5 kann ich einfach zusammenrechnen trotz * ?

Natürlich kann man mathematische Regeln nach Belieben außer Kraft setzen. geschockt

Scherz beiseite: daß das nicht, versteht sich hoffentlich von selbst.

Zitat:

Original von Spitzname!2
Und wenn ich die Variante mit n * Annahme genommen hätte müsste ich, jeden Teil, der mit einem + getrennt ist mit +9 und -9 multiplizieren?

Da sprichst du in Rätseln. verwirrt

So wird ein Schuh draus:

$\begin{eqnarray*} 10 \cdot 10^n + 3 \cdot 4^{n+2} \cdot 4 + 5 = (4+6) \cdot 10^n + 3 \cdot 4^{n+2} \cdot 4 + 20 - 15 = 4 \cdot (10^n + 3 \cdot 4^{n+2} + 5) + 6 \cdot 10^n - 15 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 4 \cdot (10^n + 3 \cdot 4^{n+2} + 5) + 15 \cdot 10^n - 15 - 9 \cdot 10^n = ... \end{eqnarray*}$

01.04.2016, 11:41

klauss

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RE: Vollständige Induktion
Um etwas konkreter zu werden:
Ich dachte da eigentlich an
$\begin{eqnarray*} 10^{n+1} + 3 \cdot 4^{n+3} +5=10 \cdot 10^{n} + 3 \cdot 4\cdot 4^{n+2} +5= (9+1) \cdot 10^{n} + (9+3)\cdot 4^{n+2} +5=... \end{eqnarray*}$
Wir wollen ja schließlich durch 9 teilen und dabei von der Induktionsvoraussetzung Gebrauch machen.

01.04.2016, 12:36

Shizmo

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Ich habs mal aus Uebung ausprobiert und ich denke es dürfte so passen. smile

01.04.2016, 13:05

klauss

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Guck Dir nochmal meinen heutigen Betrag an, der praktisch mit einer Zeile bei Dir übereinstimmt mit Ausnahme der von Dir eingeführten + 20 - 20. Wenn Du nach meinem letzten Schritt die Klammern auflöst, ist die Teilbarkeit eigentlich direkt ablesbar, wie gesagt zudem unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung.

01.04.2016, 13:23

Shizmo

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Ja stimmt, ich hab mir den Thread ehrlich gesagt kaum durchgelesen, wollte es selber ausprobieren Big Laugh

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