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31.03.2016, 15:14

Forster

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Meine Frage:
Die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ habe folgende Eigenschaften:
(i) f ist stetig,
(ii) f(x+y) = f(x) * f(y)
(iii) f(1) = e

Zeigen Sie:

a) $\begin{eqnarray*} f(2^{-k}) = (f(1))^{2^{-k} } \forall k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
b) f ist eindeutig bestimmt auf den Mengen $\begin{eqnarray*} S^{+}:= \left\{ x\in \mathbb R :\exists k\in \mathbb N ,n\in \mathbb N \Rightarrow x = \frac{k}{2^{n} } \right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S^{-}:= \left\{ x\in \mathbb R :\exists k\in \mathbb N ,n\in \mathbb N \Rightarrow x = -\frac{k}{2^{n} } \right\} \end{eqnarray*}$
c) f ist auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt
d) $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{x} \forall x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bei a) würde ich Induktion versuchen, Induktionsanfang ist auch klar, aber beim Induktionsschritt komme ich nicht auf die richtige Idee. Bei b) und c) weiß ich gar nicht, wie ich diese Eindeutigkeit zeigen soll und damit bei d) schlussfolgern soll. Hilfe!

31.03.2016, 15:25

HAL 9000

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Etwas ärgerlich, dass das $\begin{align*} k \end{align*}$ von a) in b) zu $\begin{align*} n \end{align*}$ wird, und dafür ein $\begin{align*} k \end{align*}$ in anderer Bedeutung dort auftaucht, das bereitet Potential für Verwirrungen bei der Erklärung... na egal:

Mit a)+(iii) bekommst du ja $\begin{align*} f\left(2^{-n}\right) = e^{2^{-n}} \end{align*}$ , also hast du den Wert für $\begin{align*} k=1 \end{align*}$ in $\begin{align*} S^+ \end{align*}$ schon mal eindeutig festgelegt. Aus (ii) lässt sich durch Induktion leicht $\begin{align*} f(kx) = (f(x))^k \end{align*}$ folgern, das sollte den Rest von $\begin{align*} S^+ \end{align*}$ klar machen. $\begin{align*} S^- \end{align*}$ gewinnt man auch über (ii) mit $\begin{align*} f(0) = f(x+(-x)) = f(x)\cdot f(-x) \end{align*}$ .

c) folgt aus der Stetigkeit (i), wenn man bedenkt, dass $\begin{align*} S^+\cup S^- \end{align*}$ dicht liegt in $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ .

d) Wird zuerst auf $\begin{align*} S^+ \end{align*}$ und $\begin{align*} S^- \end{align*}$ gezeigt (eigentlich oben schon in einem Aufwasch) und überträgt sich dann wegen der genannten Dichtheit+Stetigkeit auch auf ganz $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ .

P.S.: Das ganze ist übrigens eine der Cauchyschen Funktionalgleichungen.

31.03.2016, 15:40

Forster

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Das bringt schon viel Licht in mein Dunkel, danke!

Drei Fragen hab ich noch:

1) Wie läuft der Induktionsschritt bei a)?

2) Mir ist noch nicht ganz klar, wie man S- gewinnt. Deinen Rechenschritt verstehe ich schon, aber ich verstehe den Bezug zu S- nicht.

3) Ist die Dichtheit klar oder muss man die nochmal separat zeigen?

Danke!

31.03.2016, 15:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Forster
1) Wie läuft der Induktionsschritt bei a)?

Betrachte $\begin{align*} x=2^{-(k+1)} \end{align*}$ , dann ist $\begin{align*} 2x=2^{-k} \end{align*}$ und über (ii) gilt ja $\begin{align*} f(2x)=(f(x))^2 \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Forster
2) Mir ist noch nicht ganz klar, wie man S- gewinnt. Deinen Rechenschritt verstehe ich schon, aber ich verstehe den Bezug zu S- nicht.

$\begin{align*} S^+ \end{align*}$ enthält positive, und $\begin{align*} S^- \end{align*}$ negative Zahlen. Über die von mir genannte Gleichung wird eine Verbindung der zugehörigen Funktionswerte für Argumente aus beiden Mengen hergestellt.

Zitat:

Original von Forster
3) Ist die Dichtheit klar oder muss man die nochmal separat zeigen?

Eine kurze Begründung kann nicht schaden.

31.03.2016, 16:01

Forster

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Ok, der Induktionsschritt ist klar, danke.

Könntest du das mit S- noch etwas ausführen, ich bin nicht sicher, ob ich das wirklich schon verstanden habe.

Wie würde man die Dichtheit begründen? Reicht es, darauf zu verweisen, dass die Rationalen Zahlen dicht in den Reellen liegen?

Danke für deine Mühe!

31.03.2016, 16:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Forster
Könntest du das mit S- noch etwas ausführen, ich bin nicht sicher, ob ich das wirklich schon verstanden habe.

Dann schreib auf, was du dir gedacht hast. M.E. habe ich genug dazu erklärt - mit immer weiterem Gebettel wie "nicht sicher" immer und immer wieder neue Erklärungen ohne jede erkennbare Eigenleistung abzufordern nervt langsam.

Zitat:

Original von Forster
Wie würde man die Dichtheit begründen? Reicht es, darauf zu verweisen, dass die Rationalen Zahlen dicht in den Reellen liegen?

Letzteres reicht nicht, denn die Zahlen aus $\begin{align*} S^+\cup S^- \end{align*}$ sind ja nur eine Teilmenge der rationalen Zahlen. Nimm dir die Definition von Dichtheit her und versuche deren Erfülltheit hier streng logisch zu begründen, versuche es wenigstens.

31.03.2016, 17:32

Forster

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Ich bin dir wirklich dankbar für die Hilfe, und von "Gebettel" kann kaum die Rede sein. Und man muss eben "immer und immer wieder neue Erklärungen abfordern" wenn man etwas nicht verstanden hat, und du kannst dir sicher sein, dass ich selbst darüber nachgedacht habe.

Ganz ehrlich, wenn es dich nervt, warum schreibst du es dann überhaupt?

Finde diese Aggressivität völlig unnötig, wenn hier alle so sind, hätte ich auf Dauer keine Lust auf dieses Forum.

Bzgl. Dichtheit:

Seien a,b in R mit a<b beliebig. Zu zeigen ist, dass es ein r gibt mit a<r<b. Dieses r muss die Form $\begin{eqnarray*} \frac{k}{2^{n} } \end{eqnarray*}$ mit k und n aus den natürlichen Zahlen haben.

Hier hängt es, wie finde ich so ein r?

31.03.2016, 17:37

HAL 9000

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keine Lust auf Mimosen
Na dann lassen wir es doch besser. Wink

31.03.2016, 22:34

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Forster
Bzgl. Dichtheit:

Seien a,b in R mit a<b beliebig. Zu zeigen ist, dass es ein r gibt mit a<r<b. Dieses r muss die Form $\begin{eqnarray*} \frac{k}{2^{n} } \end{eqnarray*}$ mit k und n aus den natürlichen Zahlen haben.

Hier hängt es, wie finde ich so ein r?

Für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ geht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ beliebig nah an $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Deswegen kannst du ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ so groß wählen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^n}<b-a \end{eqnarray*}$ .

Kommst du damit weiter?

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