Basis und Dimension eines Vektorraums

31.03.2016, 15:33	An-.-Se	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis und Dimension eines Vektorraums Hallo Leute! Ich habe folgende Aufgabe: Sei V ein $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ -Vektorraum mit dim V = n, und $\begin{eqnarray} v_{1},..., v_{m}\in V \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie: für m > n sind die Vektoren $\begin{eqnarray} \left\{v_{1},..., v_{m}\right\}\ \end{eqnarray}$ linear abhängig. Ich habe mir folgenden Beweis überlegt: Beweis per Widerspruch: Angenommen die Vektoren $\begin{eqnarray} v_{1},..., v_{m} \end{eqnarray}$ sind linear unabhängig. Dann gibt es zwei Fälle: 1. Fall: $\begin{eqnarray} B = \left\{v_{1},..., v_{m}\right\}\ \end{eqnarray}$ ist eine Basis von V. 2. Fall: Die Vektoren $\begin{eqnarray} \left\{v_{1},..., v_{m}\right\}\ \end{eqnarray}$ lassen sich nach dem Basisergänzungssatz durch Hinzunahme geeigneter Elemente aus V zu einer Basis erweitern. Daraus folgt: V besitzt eine Basis aus mindestens m-Vektoren und es gilt $\begin{eqnarray} dim \geq m \end{eqnarray}$ . Da nach Voraussetzung dim V = n und m > n gilt, folgt ein Widerspruch. Meine Frage wäre, ob mein Beweis überhaupt so richtig ist oder vielleicht zu "einfach". Danke im Voraus!
31.03.2016, 15:41	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das passt so. Wenn man weiß, dass Unterräume von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ keine größere Dimension als $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ haben können, geht auch folgendes: Angenommen, $\begin{eqnarray} \{v_1, ..., v_m\} \end{eqnarray}$ wäre linear unabhängig. Dann ist $\begin{eqnarray} \operatorname{span}(v_1, ..., v_m) \end{eqnarray}$ ein Unterraum von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ der Dimension $\begin{eqnarray} m>\dim V \end{eqnarray}$ . Widerspruch.
31.03.2016, 15:51	An-.-Se	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank

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