Vollständige Induktion - Allgemein

31.03.2016, 20:13

Zitrone

Vollständige Induktion - Allgemein

Meine Frage:

Hallo,

ich hoffe ihr versteht was ich im Folgenden meine Big Laugh

ich weiß wie der Induktionsanfang, Annahme und der Induktionsschritt geht. Ich habe aber immer Probleme, wie ich dann meine Terme richtig aufschreibe um dann den Beweiß endgültig zu machen. Also aus Annahme folgt die Behauptung mit n+1.

Meine Ideen:

Induktionsaufgabe ganz allgemein:

Aufgabe z.B An = Bn

...
Annahme: An = Bn stimmt.

Schritt(n+1): (An+1) = (Bn+1)

Was muss ich dann machen?

31.03.2016, 22:18

MeMeansMe

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RE: Vollständige Induktion - Allgemein
Hey,

hmmm, schwierig, das an deinem Beispiel zu beschreiben. Im Wesentlichen hast du noch den Induktionsanfang vergessen, d.h. den trivialen Fall. Du müsstest danach zeigen, dass aus $\begin{eqnarray*} A_n = B_n \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} A_{n+1} = B_{n+1} \end{eqnarray*}$ folgt (auch wenn das ein wenig seltsam aussieht, wie ich finde). Ich würde dich vielleicht mal auf den Beweis der Bernoullischen Ungleichung auf Wikipedia (klick!) verweisen, da das oft einer der ersten Beweise mit vollständiger Induktion ist, die man so hört (jedenfalls war das bei mir so und hör ich das öfter von Anderen). Zudem ist der Beweis sehr einfach nachzuvollziehen. Wenn du dann noch Fragen hast, kannst du diese hier gerne stellen smile

31.03.2016, 23:04

echnaton

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RE: Vollständige Induktion - Allgemein

Zitat:

Ich habe aber immer Probleme, wie ich dann meine Terme richtig aufschreibe um dann den Beweiß endgültig zu machen.

Gerade dann, wenn man versucht ins Detail zu gehen, halte ich deine folgenden Formulierungen für unpräzise.
Nebenbei: Beweis Augenzwinkern

Zitat:

Induktionsaufgabe ganz allgemein:

Aufgabe z.B An = Bn

...
Annahme: An = Bn stimmt.

Hier frage ich bewusst ganz provokativ: Warum nimmst du die zu zeigende Aussage bereits als wahr an?

Zitat:

Schritt(n+1): (An+1) = (Bn+1)

Der Induktionsschritt besteht, wie MeMeansMe schon erwähnt hat, aus dem Beweis der Induktionsbehauptung $\begin{eqnarray*} A_{n+1} = B_{n+1} \end{eqnarray*}$ mit Hilfe der Induktionsannahme $\begin{eqnarray*} A_n = B_n \end{eqnarray*}$ für ein (beliebiges), aber festes $\begin{eqnarray*} n \ge n_0 \end{eqnarray*}$ . (Die Aussage soll für alle $\begin{eqnarray*} n \ge n_0 \end{eqnarray*}$ gelten.)

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