Funktionalgleichung f(x+y) = f(x)*f(y)

31.03.2016, 18:25

.unknown.

Funktionalgleichung f(x+y) = f(x)*f(y)

Meine Frage:
hallo zusammen

ich bin gerade an folgender aufgabe.

Bestimmen Sie alle differenzierbaren Funktionen f : R --> R, welche die Funktionalgleichung
$\begin{eqnarray*} f(x + y) = f(x)f(y) \end{eqnarray*}$
erfüllen.

Meine Ideen:
ich sehe aber gerade etwas schwarz.

ich habe bemerkt, dass
$\begin{eqnarray*} f(0) = 0 oder f(0) = 1 \end{eqnarray*}$ sein muss.

weiter kann ich ja die Funktion entweder nach x oder y ableiten.
also sei x fest.

$\begin{eqnarray*} f'(x+y) = f(x)f'(y) \end{eqnarray*}$

oder sei y fest

$\begin{eqnarray*} f'(x+y) = f'(x)f(y) \end{eqnarray*}$

aber hier weiss ich einfach nicht mehr weiter...

wäre cool wenn mir jemand einen tipp geben könnte.
Danke schonmal smile

31.03.2016, 18:37

HAL 9000

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RE: funktionalgleichung f(x+y) = f(x)*f(y)

Zitat:

Original von .unknown.
ich habe bemerkt, dass
$\begin{eqnarray*} f(0) = 0 oder f(0) = 1 \end{eqnarray*}$ sein muss.

An der Stelle hat man die Gelegenheit, den ersten Fall $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ ganz schnell abzuhandeln: Aus dem folgt über $\begin{eqnarray*} f(x)=f(0)f(x) \end{eqnarray*}$ nämlich unmittelbar die Nullfunktion $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ . Die kann man als eine erste mögliche Lösung vermerken, und den Rest der Betrachtungen dann dem anderen Fall $\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ widmen. Augenzwinkern

Tatsächlich kann man in diesem anderen Fall bereits ohne Differenzierbarkeitsvoraussetzung $\begin{eqnarray*} f(x) = (f(1))^x \end{eqnarray*}$ für alle rationalen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nachweisen (siehe Cauchysche Funktionalgleichung). Fordert man zudem noch Stetigkeit, kann man bereits $\begin{eqnarray*} f(x) = (f(1))^x \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ nachweisen.

Die Differenzierbarkeitsvoraussetzung ist also unnötig stark, ermöglicht aber einen einfacheren Zugang:

Zitat:

Original von .unknown.
$\begin{eqnarray*} f'(x+y) = f(x)f'(y) \end{eqnarray*}$

Speziell $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ ergibt mit der Konstanten $\begin{eqnarray*} a=f'(0) \end{eqnarray*}$ die Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} f'(x) = af(x) \end{eqnarray*}$ .

31.03.2016, 19:35

.unknown.

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oke super vielen dank smile

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