Gleichungssystem mit Hyperbelfunktionen

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31.03.2016, 22:41	Robotiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem mit Hyperbelfunktionen Meine Frage: Hallo! Ich suche eine Lösung für folgendes Gleichungssystem: $\begin{eqnarray} <br /> y_1 = 2\cosh(c(a+2x_2-x_1)) - 2\cosh(c(a+x_2-x_1)) - \cosh(c(a+2x2))<br /> y_2 = 2\sinh(c(a+2x_2-x_1)) - 2\sinh(c(a+x_2-x_1)) - \sinh(c(a+2x2))<br /> \end{eqnarray}$ y1 und y2 sind gegeben. x1 und x2 sind gesucht. a und c sind Konstanten. Es kann davon ausgegangen werden, dass nur solche y1, y2 gegeben sind, für die auch eine Lösung existiert. Ich schaffe es aber nicht die Gleichungen nach x1 oder nach x2 umzuformen, daher sehe ich momentan überhapt kein Land. Meine Ideen: Am besten wäre es natürlich eine Umformung nach x1 und x2 zu finden. Das habe ich bisher selbst mit Hilfe von mathematischen Werkzeugen nicht geschafft. Wenn sich wenigstens eine Umformung nach einer Variable finden würde (z.B. nach x2), dann könnte man die andere Variable numerisch suchen. Damit könnte ich mich noch gut abfinden. Beide Variablen numerisch zu suchen ist auch eine Option, aber wesentlich schwerer und langsamer. Edit (mY+): Das System ist NICHT trigonometrisch, weil $\begin{eqnarray} \sinh \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \cosh \end{eqnarray}$ keine trigonometrischen, sondern hyperbolische Funktionen sind! Thementitel modifiziert.
01.04.2016, 11:48	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem mit Hyperbelfunktionen Vielleicht lässt sich da doch analytisch etwas machen. Ich war zu faul, das im Detail durchzuführen. Deshalb hier nur die Idee: Um die Sache übersichtlicher zu machen, definiert man zunächst: $\begin{eqnarray} ca=\hat a \quad cx_1=\hat x_1 \quad cx_2=\hat x_2 \end{eqnarray}$ Nun drückt man die hyperbolischen Funktionen durch die Exponentialfunktion aus und setzt $\begin{eqnarray} t_1=e^{\hat x_1} \quad t_2=e^{\hat x_2} \end{eqnarray}$ Man erhält 2 Gleichungen, die, wenn ich mich nicht täusche, linear in $\begin{eqnarray} t_1 \end{eqnarray}$ und quadratisch in $\begin{eqnarray} t_2 \end{eqnarray}$ sind. Das sollte sich analytisch lösen lassen.
01.04.2016, 16:11	Robotiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, die Konstante c hätte ich eigentlich auch gleich weglassen können. Damit vereinfachen sich die Formeln ein bisschen zu $\begin{eqnarray} <br /> y_1 = 2\cosh(a+2x_2-x_1) - 2\cosh(a+x_2-x_1) - \cosh(a+2x_2)<br /> y_2 = 2\sinh(a+2x_2-x_1) - 2\sinh(a+x_2-x_1) - \sinh(a+2x_2)<br /> \end{eqnarray}$ Wenn ich das in Exponentialform ausdrücke, dann sieht das so aus: $\begin{eqnarray} <br /> y_1 = e^{(a+2x_2-x_1)} + e^{-(a+2x_2-x_1)} - e^{(a+x_2-x_1)} - e^{-(a+x_2-x_1)} - \frac{ e^{(a+x_2)} + e^{-(a+x_2)}}{2}<br /> y_2 = e^{(a+2x_2-x_1)} - e^{-(a+2x_2-x_1)} - e^{(a+x_2-x_1)} + e^{-(a+x_2-x_1)} - \frac{ e^{(a+x_2)} - e^{-(a+x_2)}}{2}<br /> \end{eqnarray}$ Ich weiss aber nicht, wie ich mit einer Substitution von $\begin{eqnarray} t_1 = e^{x_1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t_2 = e^{x_2} \end{eqnarray}$ weiter komme.
01.04.2016, 17:47	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechne mal nach, ob folgendes stimmt: $\begin{eqnarray} z_1=\frac {y_1+y_2}{e^a}=2e^{2x_2-x_1}-e^{2x_2}-2e^{x_2-x_1}=2\frac {t_2^2}{t_1}-t_2^2-2\frac {t_2}{t_1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z_2=e^a(y_2-y_1)=-2e^{x_1-2x_2}+e^{-2x_2}+2e^{x_1-x_2}=-2\frac{t_1}{t_2^2}+\frac {1}{t_2^2}+2\frac {t_1}{t_2} \end{eqnarray}$ Das fällt leichter, wenn man sich erst klar macht, was $\begin{eqnarray} \sinh x +\cosh x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sinh x -\cosh x \end{eqnarray}$ ergibt. Jetzt die erste Gleichung mit $\begin{eqnarray} t_1 \end{eqnarray}$ und die zweite Gleichung $\begin{eqnarray} t_2^2 \end{eqnarray}$ multiplizieren. Aber bitte wirklich nachrechnen. Ich habe das auf die schnelle hingeschludert und nicht mit einem CAS geprüft. Das Dach über einigen Variablen habe ich jetzt weggelassen.
03.04.2016, 06:06	Robotiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay. Ich habe mehrmals nachgerechnet und keinen Fehler gefunden. Du hast sogar den Fehler, den ich in dem Beitrag eins vorher gemacht habe, korrigiert. Ich denke du hast das Gleichungsystem deswegen so umgeformt, damit sich alle Konstanten, insbesondere auch das $\begin{eqnarray} e^a \end{eqnarray}$ , auf der linken Seite in $\begin{eqnarray} z_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_2 \end{eqnarray}$ sammeln. Also gut. Jetzt nehme ich also diese Formeln: $\begin{eqnarray} <br /> z_1=2\frac{t_2^2}{t_1}-t_2^2-2\frac {t_2}{t_1}<br /> z_2=-2\frac{t_1}{t_2^2}+\frac {1}{t_2^2}+2\frac {t_1}{t_2}<br /> \end{eqnarray}$ und versuche sie zu lösen. Das Ziel ist $\begin{eqnarray} t_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t_2 \end{eqnarray}$ als eine Funktion von $\begin{eqnarray} z_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_2 \end{eqnarray}$ auszudrücken. Ich löse die erste Gleichung nach $\begin{eqnarray} t_1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} <br /> t_1=\frac{2(t_2^2 - t_2)}{z_1+t_2^2}<br /> \end{eqnarray}$ setze in die zweite Gleichung ein, und erhalte: $\begin{eqnarray} <br /> z_2=\frac{ -4t_2^2 + 4t_2 }{ t_2^4 + t_2^2z_1 } + \frac{1}{t_2^2} + \frac{ 4t_2^2 -4 t_2 }{ t_2^3 + t_2z_1 }<br /> \end{eqnarray}$ Damit bin ich jetzt erstmal wieder erschlagen. Mein algebraisches System (Maxima) mag das nicht nach $\begin{eqnarray} t_2 \end{eqnarray}$ umformen, und ich sehe ja $\begin{eqnarray} t_2 \end{eqnarray}$ zur vierten und dritten Potenz erscheinen. Was jetzt?
03.04.2016, 09:28	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kenne Maxima nicht. Mathematica macht daraus aber auch eine quartische Gleichung. Und die ist prinzipiell noch formelmäßig lösbar. Mathematica kann das. Viele empfinden diese Formeln aber als unhandlich. Dann kann man sie immer noch numerisch lösen. Das ist einfacher als die numerische Lösung der beiden ursprünglichen Gleichungen. Man hat ja nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten zu lösen. Zu beachten ist, dass aufgrund der Definition der t-Variablen nur die positiven Lösungen in Frage kommen.
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04.04.2016, 02:03	Robotiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du denn bitte dein Mathematica bemühen die zweite Formel nach $\begin{eqnarray} t_2 \end{eqnarray}$ aufzulösen und dann das Ergebnis hier posten?
04.04.2016, 08:47	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Mathematica vereinfacht die Gleichung noch zu: $\begin{eqnarray} z_2=\frac {4t_2-7t_2^2+4t_2^3+z_1}{t_2^4+t_2^2z_1} \end{eqnarray}$ Nun bezweifele ich, dass dir die Lösung mit variablem $\begin{eqnarray} z_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_2 \end{eqnarray}$ viel nützt. Das ist ein ellenlanger Ausdruck. Ich füge ihn trotzdem mal bei, allerdings nur die erste der 4 Lösungen, da sonst die Dateigröße zu hoch ist. Mit Zahlenwerten für $\begin{eqnarray} z_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_2 \end{eqnarray}$ stehen da nur 4 Zahlen für die 4 Lösungen. [attach]41281[/attach]
04.04.2016, 13:48	Robotiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Woah, das ist ja wirklich ein Hammer Ausdruck. Ich werde dann wohl eine numerische Lösung anstreben und dann besser den vereinfachten Ausdruck verwenden, wo z2 noch auf der linken Seite steht. Vielen Dank für deine Hilfe! Ohne dich wäre ich keinen Schritt weit gekommen.
04.04.2016, 15:09	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Mich wundert etwas, dass Maxima die quartische Gleichung nicht lösen kann. Die Lösungen sehen deutlich einfacher aus, wenn man sie schrittweise aufbaut. Mathematica macht halt zum Schluss alle Substitutionen auf dem Weg zu den Lösungen wieder rückgängig, wodurch der Ausdruck so elend lang wird. Wenn du die Ausgangsgleichung nur gelegentlich lösen willst/musst, ist die rein numerische Lösung sicher die beste Wahl. Wenn du sie häufig lösen musst, kann es sich lohnen, den exakten Lösungsweg mit Maxima zu programmieren. Man muss sich dann nicht mit dem Problem der Wahl der Anfangswerte für eine numerische Lösung beschäftigen.

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