Trigonometrische Weg-Minimierung

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01.04.2016, 15:55	Henrik2307	Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrische Weg-Minimierung Meine Frage: Wie ich oben im Titel schon beschrieben habe soll ich bei meiner Aufgabe 2 Gleichungen mit 2 unbekannten zur Lösung verwenden, ich formulier einfach mal die gesamte Aufgabe so wie sie auf dem Blatt steht: Vom Haus A aus will jemand zuerst zum Bach (B) laufen, dort Wasser holen und dann seinen Weg zum Haus C fortsetzen. Dabei will er den kürzesten Weg wählen. Folgende Werte sind bekannt a=50m b=360m c=40m Bestimme x und y und den Winkel Alpha. Verwende zwei Gleichungrn mit zwei Unbekannten. Neben der Textaufgabe ist noch eine Zeichnung. Nun ist mein Problem das ich nicht weis wie ich aus den 3 angegeben werten zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten aufstellen soll Meine Ideen: Meine einzige Idee ist zurzeit das ich für a, x einsetze und für b, y meine Gleichung würde dann so aussehen... 50x + 360y = 40 Mehr fällt mir leider auch nicht ein...würde mich über Tipps sehr freuen da ich um ehrlich zu sein keine Ahnung habe wie ich die Gleichung aufstellen soll. Danke schonmal im Voraus für jeden Hilfe
01.04.2016, 16:47	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, du solltest die Zeichnung hier posten! Du kannst eine Grafik direkt an deinen Beitrag anhängen!
01.04.2016, 16:48	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 2 Gleichung mit 2 unbekannten aus eine trigonometrischen Aufgabe aufstellen Guten Tag, so wie Du die Aufgabe beschrieben hast, wird Dir kaum jemand helfen können. 1. Eine Zeichnung, bei der die Lage der Strecken a, b und c erkennbar ist, wäre sehr hilfreich. Oder: 2. Du müsstest beschreiben, wo sich die Strecken a, b und c befinden. Z.B., (was ich vermute) a ist die Senkrechte von A zum Bach. Für b und c entsprechend. EDIT: ... und tschüs!
01.04.2016, 17:02	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es muss sich um eine Extremwertaufgabe handeln, wobei der Weg als Funktion in Abhängigkeit von einer Variablen (z.B. dem Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ ) zu minimieren ist. Ein Gleichungssystem mit zwei Variablen wird in diesem Szenario dazu führen, alle Variablen mittels Winkelfunktionen in dem Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ auszudrücken.
01.04.2016, 17:58	Henrik23	Auf diesen Beitrag antworten »
[attach]41267[/attach]
01.04.2016, 19:56	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
y kannst du sofort loswerden, denn du kannst y = 360 - x setzen. Die beiden rechtwinkeligen Dreiecke sind ähnlich (weil sie den gleichen Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ haben). Setze daher die beiden Tangensfunktionen gleich. _____________________ Anmerkung: Hier wurde stillschweigend das Reflexionsgesetz vorausgesetzt, nach welchem der kürzeste Weg nur dann erreicht wird, wenn der Einfallswinkel gleich dem Reflexionswinkel ist. Dieses kann aber im Rahmen dieser Aufgabe auch mitgezeigt werden, indem man von vornherein die Winkel NICHT gleich annimmt. In diesem Fall wird die Summe der beiden Wege als Funktion von x --> f(x) minimiert (Ableitung Null setzen) $\begin{eqnarray} f(x) = \sqrt{a^2+x^2} + \sqrt{(b-x)^2 + c^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f \ '(x) = \frac x {\sqrt{a^2+x^2}} + \frac{b-x}{\sqrt{(b-x)^2 + c^2}} \to 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (b-x)^2 \cdot a^2 = c^2x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = \frac{ab}{a+c} \end{eqnarray}$ mY+
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01.04.2016, 21:03	Henrik23	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal vielen Dank für die ausführliche Antwort nur muss ich leider gestehen das wir dies so noch nie in der Schule behandelt haben und ich selber auch nicht nicht darum verstehe ich den Lösungsweg leider nicht ganz
01.04.2016, 22:24	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst ja nicht mit den verschiedenen Winkeln rechnen, alles was unter dem waagrechten Strich steht, ist ja nur eine Option, um auch ohne Kenntnis des Reflexionsgesetzes den Weg zu minimieren. Also gehe ruhig davon aus, dass in beiden Dreiecken der Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ gleich ist, wie in der Zeichnung bereits angegeben. Damit brauchst du keine Differentialrechnung und kannst einfach die beiden Tangenswerte gleichsetzen. Falls du mit dem Tangens auch nichts anfangen kannst, benütze die Ähnlichkeit der beiden Dreiecke, indem du das Verhältnis entsprechender Seiten gleichsetzt: $\begin{eqnarray} \frac a x = \frac c y \end{eqnarray}$ Ersetze y durch (b - x) [das vestehtst du schon?] und löse die Gleichung nach x. Und gut ist es! mY+
02.04.2016, 00:29	Henrik23	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal vielen Dank jetzt ist mir alles klar Und ja Tanges ist mir sehr vertaut beschäftige mich auch abseits der Schule mit Mathe...nur kannte ich deinen ersten Lösungsweg nicht und konnte ihn nicht ganz nachvollziehen
02.04.2016, 11:49	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit Spiegelung geht die Sache ziemlich einfach, was im übrigen die von mYthos angemahnte Begründung der Wegminimalität mit liefert.
02.04.2016, 12:08	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
eine reale Variation wäre es, wenn der Wasserträger auf der Strecke BC mit dem schweren Wasserrucksack nur 75% der Normalgeschwindigkeit erreicht. B ist nun so zu wählen, dass die Zeit insgesamt ein Minimum wird. Das führt dann zum Brechungsgesetz von Snell.
03.04.2016, 14:28	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
--> Snellius Dies sollte allerdings dann nicht vorausgesetzt, sondern effektiv mittels der Differentialrechnung berechnet werden. Und das hatten wir hierboards auch schon --> Extremwertaufgabe "Mann vor dem Ertrinken" --> Extremwertaufgabe

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