Konkave Funktion, maximal 2 Fixpunkte?

01.04.2016, 19:43

StrunzMagi

Konkave Funktion, maximal 2 Fixpunkte?

Hallo,
Beim Lernen tauchte gerade eine Frage auf:
Warum kann eine konkave Funktion die Diagonale mit y=x nur höchstens zwei mal schneiden? Also eine konkave Funktion nur maximal 2 Fixpunkte haben?
Wir haben eine konvae Funktion charakterisiert wenn für alle x,y aus dem Definitionsbereich und für alle $\begin{eqnarray*} t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(t x+(1-t)y) \ge t f(x)+(1-t)f(y) \end{eqnarray*}$ . Meistens wird die Konkavität mittels der zweiten Ableitung gezeigt.
Praktisch ist die Gegebenheit klar aber nicht wie ich das zeige!

LG,
MaGi

01.04.2016, 19:53

IfindU

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RE: Konkave Funktion, maximal 2 Fixpunkte?
Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$ ist konkav und "schneidet" die Diagonale überall.

Falls $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht die Diagonale selbst ist, und sie die Diagonale in 2 Punkten $\begin{eqnarray*} x < y \end{eqnarray*}$ schneidet, so sagt Konkavität, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} x < y \end{eqnarray*}$ überall über der Verbindungsgerade liegt -- was ja gerade $\begin{eqnarray*} y = x \end{eqnarray*}$ ist. Soweit so gut. Gäbe es nun drei Schnittpunkte $\begin{eqnarray*} x < y <z \end{eqnarray*}$ , dann ...

Edit: Vlt etwas sauberer, weil es damit nicht so schön hinhaut wie erhofft: $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist konkav genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} f - y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y(x) = x \end{eqnarray*}$ konkav ist.

Also ist die Frage äquivalent dazu, dass eine konkave (oder konvexe) Funktion höchstens 2 Nullstellen hat. Und das ist offensichtlich falsch. Jede Funktion, die erst einmal komplett 0 ist und irgendwann anfängt linear zu fallen ist konkav und verletzt die Bedingung.

Edit 2: Strikt konkav reicht für die Aussage und dann tut es ein leichter Widerspruch mit 3 Schnittpunkten. Andererseits reicht selbst glatt nicht mit Konkavität aus. Andererseits sollte aus $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ analytisch, konkav und $\begin{eqnarray*} f \neq y \end{eqnarray*}$ bereits strikt konkav folgen. Denke das reicht an Bemerkungen erstmal.

02.04.2016, 11:31

StrunzMagi

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Hallo,
Also wenn f nur konkav ist gilt die Eigenschaft nicht aber wenn f strikt konkav ist schon.

Sei f strikt konkav. Angenommen f hat drei Schnittpunkte $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 < x_3 \end{eqnarray*}$ mit der Winkelhalbierenden.
Da f strikt konkav ist gilt für alle $\begin{eqnarray*} t \in [0,1] \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} f(t x_1+(1-t)x_3) > t f(x_1)+(1-t)f(x_3)= t*x_1 + (1-t)*x_3 \end{eqnarray*}$

Insbesondere muss auch gelten:
$\begin{eqnarray*} f(t x_1+(1-t)x_2) > t*x_1 + (1-t)*x_3 \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(x_2) > x_3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=f(x_2)>x_3 \end{eqnarray*}$ ist ein Widerspruch zu den Anfangsbedingungen.

Warum kann ich den Widerspruch nicht genauso führen bei nicht strikter konkavität? Wäre da nicht $\begin{eqnarray*} x_2=x_3 \end{eqnarray*}$ auch ein Widerspruch?

LG,
MaGi

02.04.2016, 11:50

IfindU

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Zitat:

Original von StrunzMagi
Insbesondere muss auch gelten:
$\begin{eqnarray*} f(t x_1+(1-t)x_2) > t*x_1 + (1-t)*x_3 \end{eqnarray*}$

Warum soll das denn gelten?

Und der Beweis kann nicht funktionieren, wenn du den konkaven Fall mit"beweist". Schließlich darf der Beweis für z.B. $\begin{eqnarray*} f(x) = x \end{eqnarray*}$ nicht funktionieren. (Unendlich viele Schnittpunkte.)

02.04.2016, 14:38

StrunzMagi

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Zitat:

Original von IfindU
[quote]Original von StrunzMagi
Insbesondere muss auch gelten:
$\begin{eqnarray*} f(t x_1+(1-t)x_2) > t*x_1 + (1-t)*x_3 \end{eqnarray*}$

Stimmt, da hatte ich etwas durcheinandergebracht! Danke für´s Aufmerksam machen!

Es muss natürlich auch heißen:
Da f strikt konkav ist gilt für alle $\begin{eqnarray*} t \in (0,1) \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} f(t x_1+(1-t)x_3) > t f(x_1)+(1-t)f(x_3)= t*x_1 + (1-t)*x_3 \end{eqnarray*}$

Neuer Versuch:
Es gibt ein $\begin{eqnarray*} \overline{t} \in (0,1): x_2=\overline{t}*x_1 + (1-\overline{t})*x_3 \end{eqnarray*}$ .
So erhalte ich $\begin{eqnarray*} f(x_2)=f( \overline{t}*x_1 + (1-\overline{t})*x_3) > \overline{t}*x_1 + (1-\overline{t})*x_3=x_2 \end{eqnarray*}$ einen Widerspruch.

02.04.2016, 15:30

IfindU

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Genau. Und ohne strikte Konkavität ist es eben kein Widerspruch.

02.04.2016, 16:01

StrunzMagi

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Vielen Dank, ich habe noch eine Frage bezüglich des Themas. Ist f streng konkav mit den zwei Fixpunkten $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 \end{eqnarray*}$ . Warum ist dann $\begin{eqnarray*} f(x)<x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x < x_1 \end{eqnarray*}$ ?

Da f links von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ keine Fixpunkte mehr hat muss $\begin{eqnarray*} f(x)\not=x \forall x<x_1 \end{eqnarray*}$ gelten. Aber wie komme ich auf $\begin{eqnarray*} f(x)<x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x< x_1 \end{eqnarray*}$ ?
Wohlmöglich braucht man die strenge stigende Monotonie sowie die Stetigkeit dazu, diese hatten wir nämlich im Bsp. wo wir das disskutiert haben.

LG,
MaGi

02.04.2016, 18:06

IfindU

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Stetigkeit hat man automatisch (sogar lokal Lipschitz -- wenn ich mich nicht irre hattest du dazu auch mal einen Thread) auf offenen Mengen. Monotonie braucht man nicht.

Nimm an es gibt $\begin{eqnarray*} x_0 < x_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x_0) > x_0 \end{eqnarray*}$ . Dann liegt $\begin{eqnarray*} (x_1, f(x_1)) \end{eqnarray*}$ unter der Verbindungsstrecke von $\begin{eqnarray*} (x_0, f(x_0)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x_2, f(x_2)) \end{eqnarray*}$ .

02.04.2016, 19:48

StrunzMagi

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Hallo,
Danke für deine Antwort!
Grafisch ist es mir klar aber ich muss das natürlich mathematisch beweisen.
Mein Versuch:
Es gilt $\begin{eqnarray*} f(tx_0 + x_2(1-t))>t*f(x_0)+ (1-t) x_2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} t \in (0,1) \end{eqnarray*}$
Es gibt ein $\begin{eqnarray*} \overline{t}: x_1= \overline{t} x_0 + x_2 (1-\overline{t}) \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} x_1=f(x_1)=f( \overline{t} x_0 + x_2 (1-\overline{t}))>\overline{t} f(x_0) + (1-\overline{t})x_2> \overline{t} x_0 + (1- \overline{t}) x_2 = x_1 \end{eqnarray*}$ Wid.

02.04.2016, 20:01

IfindU

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Genau

Vlt als allgemeiner Tipp: Solche Beweise führen sich durch Anschauung. Sobald man diese hat, gilt es das nur noch ein mathematischen Formalismus zu übersetzen, damit es rigoros stehen hat.

Ich hoffe es ist dir klar, dass dein Beweis genau das tut. Wenn nicht, versuche deinen Beweis Stück für Stück wieder zurück in die Anschauung zu übersetzen.

02.04.2016, 22:31

StrunzMagi

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Danke für deine Hilfe bei dem Thema, hat mir sehr weitergeholfen Freude

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