T(d) = Produkttopologie T(dn)

01.04.2016, 20:22	Karl78	Auf diesen Beitrag antworten »
T(d) = Produkttopologie T(dn) Hallo, ich habe eine Metrik $\begin{eqnarray} d(f,g) = \sum_{n=1}^{\infty} ( 2^{-n} \frac{d_n (f_n , g_n )}{1+ d_n (f_n , g_n )} ) \end{eqnarray}$ und will zeigen, dass $\begin{eqnarray} T(d)= \Pi_{n \in \mathbb{N}} T(d_n) \end{eqnarray}$ ist. Also muss ich zeigen, dass jede offene Menge bzgl. T(d) auch eine offene Menge bzgl. $\begin{eqnarray} \Pi_{n \in \mathbb{N}} T(d_n) \end{eqnarray*}$ ist und umgekehrt. Kann mir jemand bitte erklären, wie ich da vorgehen soll?
10.04.2016, 22:51	Zündholz	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: T(d) = Produkttopologie T(dn) Hallo, die Produkt Topologie die gröbste Topologie, sodass alle Koordinatenabbildungen, sagen wir mal $\begin{eqnarray} \pi_n \end{eqnarray}$ , stetig sind (für all $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ). Also ist eigentlich nur zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} d(x_m,x) \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} m \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ genau dann wenn $\begin{eqnarray} d_n(\pi_n(x_m),\pi_n(x)) \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} m \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Schöne Grüße

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