Poincaré-Abbildung, Limes, Dgl Lösung

02.04.2016, 23:15	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Poincaré-Abbildung, Limes, Dgl Lösung Einleitende Worte: Wir haben in gewöhnliche Differentialgleichung nur kurz die Poincare-Abbildung eingeführt. Wir schauen uns eine bestimmte DGl $\begin{eqnarray} x'(t)=f(t,x) \end{eqnarray}$ die periodisch mit Periode 1 ist d.h. $\begin{eqnarray} f(t+1,x)=f(t,x) \end{eqnarray}$ . Wir notieren die Lösung der Dgl., welche an x zum Zeitpunkt t=0 ist, als $\begin{eqnarray} \phi(t,x) \end{eqnarray}$ . Für x fixiert ist $\begin{eqnarray} t \rightarrow \phi(t,x) \end{eqnarray}$ eine alternative Notation für die Lösung der Dgl mit Anfangswert x. Die Poincaré-Abbildung haben wir definiert als $\begin{eqnarray} P(x)= \phi(1,x) \end{eqnarray}$ Wir haben bereits gezeigt, dass eine Anfangsbedingung $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ zu einer periodischen Lösung gehört genau dann wenn $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ ein Fixpunkt von P ist. Meine Frage: Es sei $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ ein Fixpunkt der Poincaré-Abbildung und es gelte $\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow \infty} \|\phi(n,x)-x_2\|=0 \end{eqnarray}$ . In dem Skriptum steht, dass daraus folgt $\begin{eqnarray} \lim_{t\rightarrow \infty} \|\phi(t,x)-\phi(t,x_2)\|=0 \end{eqnarray}$ . Nun frag ich mich wie man auf die Folgerung kommt? ( $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N}, t \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ) Bei Unverständlichkeiten/Interesse kann ich auf mein Skript: http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ode.pdf S.31 intern hinweisen sodass der Rahmen besser verständlich ist. Aber ich denke es ist klar?
03.04.2016, 09:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Poincaré-Abbildung, Limes, Dgl Lösung Für mich war es lehrreich mir erst einmal anzugucken, warum die Aussage gilt, wenn $\begin{eqnarray} \phi(n,x) = x_2 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gilt. In dem Moment können wir auf beiden Seiten $\begin{eqnarray} \phi(t, \cdot) \end{eqnarray}$ anwenden und erhalten $\begin{eqnarray} \phi( t, \phi(n, x)) = \phi(t,x_2) \end{eqnarray}$ . Das sieht schon einmal gut auf der rechten Seite aus, aber links noch nicht. Aus der Gruppeneigenschaft bzgl. der Zeit, damit meine ich $\begin{eqnarray} \phi(t, \phi(s,x)) = \phi(t+s, \phi(0, x)) = \phi(t+s, x) \end{eqnarray}$ können wir es links umschreiben zu $\begin{eqnarray} \phi(t, \phi(n,x)) = \phi(t+n, x) \end{eqnarray}$ . Also insgesamt haetten wir jetzt $\begin{eqnarray} \phi(t+n, x) = \phi(t, x_2) \end{eqnarray}$ . Nutzen wir, dass $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ ein Fixpunkt bzgl. der Poincare--Abbildung ist, so ist $\begin{eqnarray} \phi(n, x_2) = x_2 \end{eqnarray}$ und damit schlussendlich mit $\begin{eqnarray} \widetilde t = t + n \end{eqnarray}$ die Aussage $\begin{eqnarray} \phi(\widetilde t, x) = \phi(\widetilde t, x_2) \end{eqnarray}$ . Das sollten alle Kernideen fuer den Beweis sein. Was man will ist nun $\begin{eqnarray} \phi(n,x) \approx x_2 \implies \phi(\widetilde t, x) \approx \phi(\widetilde t, x_2) \end{eqnarray}$ -- und hier sollte die Abbildung $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ besser mal stetig (am besten Lipschitzstetig) bzgl. $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ sein (vlt reicht auch weniger).
10.04.2016, 12:45	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Danke für deinen Beitrag dazu! Das hat mir im Verständnis sehr weitergeholfen! > Gruppeneigenschaft bzgl. der Zeit, damit meine ich $\begin{eqnarray} \phi(t, \phi(s,x)) = \phi(t+s, \phi(0, x)) = \phi(t+s, x) \end{eqnarray}$ Brauchst du dazu nicht $\begin{eqnarray} s \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ ? Praktisch habe ich mir die Gleichheit visuallisiert, nun aber zum mathematischen Beweis: Sei $\begin{eqnarray} x_1(t) \end{eqnarray}$ eine Lösung der Dgl mit $\begin{eqnarray} x_1(0)=\phi(s,x) \end{eqnarray}$ . So ist $\begin{eqnarray} \phi(t, \phi(s,x))=x_1(t) \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} x_2(t) \end{eqnarray}$ eine Lösung der Dgl mit $\begin{eqnarray} x_2(0)=x \end{eqnarray}$ . So ist können wir $\begin{eqnarray} x_1(0)=\phi(s,x) \end{eqnarray}$ umschreiben zu $\begin{eqnarray} x_1(0)=x_2(s) \end{eqnarray}$ . ZuZeigen ist wegen der Eindeutigkeit des AWP: $\begin{eqnarray} x_2(t+s)=x_1(t) \end{eqnarray}$ Trage die vorbemerkungen zusammen: $\begin{eqnarray} x_1(t)= \phi(t, \phi(s,x))=\phi(t, x_1(0))=\phi(t,x_2(s)) \end{eqnarray}$ Bleibt also zuzeigen $\begin{eqnarray} \phi(t,x_2(s))=x_2(t+s) \end{eqnarray}$ Beweis für $\begin{eqnarray} \phi(t,x_2(s))=x_2(t+s) \end{eqnarray}$ : Definiere $\begin{eqnarray} x_3(t) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_3(0)=x_2(s) \end{eqnarray}$ als $\begin{eqnarray} x_3(t)=x_2(t+s) \end{eqnarray}$ Wenn s eine natürliche Zahl ist(da f Periode 1 hat, brauche ich das) so gilt $\begin{eqnarray} x_3'(t)=x_2'(t+s)=f(t+s, x_2(t+s))=f(t,x_2(t+s))=f(t, x_3(t)) \end{eqnarray}$ . Somit ist auch $\begin{eqnarray} x_3(t) \end{eqnarray}$ eine Lösung der Dgl mit Anfangswert $\begin{eqnarray} x_3(0)=x_2(s) \end{eqnarray}$ . Wegen der Eindeutigkeit muss jede Lösung $\begin{eqnarray} x(t) \end{eqnarray}$ der Dgl mit dem Anfangswertproblem $\begin{eqnarray} x(0)=x_2(s) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_3(t) \end{eqnarray}$ übereinstimmen. $\begin{eqnarray} x(t)=x_3(t)=x_2(t+s) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Box \end{eqnarray}$ Passt das so? LG, MaGi
10.04.2016, 14:35	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast natürlich Recht. Ich habe nicht darauf geachtet, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ zeitabhängig ist. Ohne die Zeitabhängigkeit ("Periode 0") würde es für alle reellen Zahlen funktionieren, sonst eben nur für natürliche.
10.04.2016, 19:28	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, so habe ich wenigstens den Teil verstanden. Freut mich das der Beweis passt. Mir bereitet noch der allgemeine Fall Probleme. Ich weiß nicht ob ich die Lipschitzstetigkeit einfach so hernehmen darf - wenn sie gilt hab ich: Sei $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ beliebig. Sei $\begin{eqnarray} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ beliebig aber fix. Wegen der Stetigkeit gibt es ein $\begin{eqnarray} \delta>0 \end{eqnarray}$ so dass für $\begin{eqnarray} \|\phi(n_0,x)-x_2\|< \delta \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \| \phi(t, \phi(n_0,x))- \phi(t,x_2)\| < \epsilon \end{eqnarray}$ "Gruppeneigenschaft der zeit" liefert $\begin{eqnarray} \| \phi(t+n_0, x)-\phi(t,x_2)\| < \epsilon \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} \lim_{n\rightarrow \infty} \|\phi(n,x)-x_2\|=0 \end{eqnarray}$ gibt es ein $\begin{eqnarray} N\in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} \|\phi(n,x)-x_2\| < \delta \end{eqnarray}$ und das für alle $\begin{eqnarray} n \ge N \end{eqnarray}$ Zusammenfassend: Wir erhalten für $\begin{eqnarray} \|\phi(n,x)-x_2\| < \delta \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \| \phi(t+n, x)-\phi(t,x_2)\| < \epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \ge N \end{eqnarray}$ Es gilt $\begin{eqnarray} \phi(t,x_2)=\phi(t, \phi(0,x_2))= \phi(t, \phi(n-n, x_2))= \phi(t-n, \phi(n,x_2))= \phi(t-n,x_2) \end{eqnarray}$ Also habe ich für $\begin{eqnarray} \|\phi(n,x)-x_2\| < \delta \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \| \phi(t+n, x)-\phi(t-n,x_2)\| < \epsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \ge N \end{eqnarray}$ Weiter hab ich es noch nicht verstanden..
11.04.2016, 05:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Anstatt mit $\begin{eqnarray} x_2 = \varphi(0, x_2) \end{eqnarray}$ zu starten und dann das Problem zu haben keine negative "Zeit" zu haben, benutze doch sofort, dass $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ ein Fixpunkt ist d.h. $\begin{eqnarray} x_2 = \varphi(0 + n, x_2) \end{eqnarray}$ um das $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ mit positiven Vorzeichen nach vorne zu holen. Und dann sieht es mit $\begin{eqnarray} \widetilde t = t+n \end{eqnarray}$ doch schonmal gut aus.
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