Determinante eines Matrixausdrucks |
| 03.04.2016, 09:16 | schnudl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Determinante eines Matrixausdrucks Wieso gilt für die Determinanten: Exemplarisch nachgerechnet habe ich es - es stimmt scheinbar. Es hat etwas mit Eigenwerten zu tun, kann es aber nicht wirklich fassen. Die Determinante einer Matrix ist das Produkt ihrer Eigenvektoren. Danke! |
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| 03.04.2016, 11:47 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist eine Matrix diagonalisierbar, dann ist das Produkt der Eigenwerte gleich der Determinante. Was ist, wenn die Matrix keine Eigenwerte hat ? |
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| 04.04.2016, 19:29 | schnudl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für den gut gemeinten Hinweis, ich fange damit aber (noch) nichts an... |
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| 04.04.2016, 19:35 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Aussage ist schlicht und einfach FALSCH, wenn die Matrizen keine Eigenwerte haben. Wenn eine Matrix keine Eigenwerte hat, kann ihre Determinante nicht das Produkt ihrer Eigenwerte sein. |
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| 04.04.2016, 19:51 | schnudl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es geht um folgende Passage, die ich einfach verstehen will (siehe Bild; der Auszug ist aus einem bekannten Werk über Regelungstechnik). Letztlich geht es um den Schritt von 1.8.25a auf 1.8.25b |
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| 04.04.2016, 19:55 | schnudl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist zwar in diesem Kontext leicht Off-Topic, aber auch das will ich (als nicht-Mathematiker) verstehen. Die Eigenwerte sind doch die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Und dieses muss doch immer (i.A. komplexe) Nullstellen haben. Kannst du mir das kurz erläutern? 
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| 04.04.2016, 20:03 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, so stimmt es. Man muss geeignete Voraussetzungen an den Körper machen. Jeder Vektorraum ist ein Vektorraum über einem Körper. Ist der Körper algebraisch abgeschlossen, enthält er alle Nullstellen von Polynomen. Das gilt für die komplexen Zahlen, diese Voraussetzung hattest Du aber nicht erwähnt. Merke: Es gibt keine Mathematik ohne Voraussetzung. 
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| 04.04.2016, 20:08 | schnudl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke ! In der Regelungstechnik rechnet man eigentlich ausnahmslos mit komplexen Matrizen. In diesem Fall habe ich bei einer Matrix immer Eigenwerte - kann man das so sagen? Und weißt du, wie man den von mir erfragten Zusammenhang beweist? Ich hatte den eindruck, du wüsstest es, und wolltest mich mit der Gegenfrage auf die richtige Fährte locken. |
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| 05.04.2016, 13:14 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist das nicht trivial ? Für einen Eigenwert s von A ist die Determinante |sI-A|=0, also das Produkt immer 0, egal wie der zweite Faktor aussieht. |
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| 05.04.2016, 18:46 | schnudl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich denke wir reden aneinander vorbei: Es geht um die Identität für die drei beteiligten Matrizen (Dimensionen: nxn, nxr, rxn) Hier wird kein Eigenwert irgendwie eingesetzt. Nur die nackten Matrizen. Das s ist außerdem hier KEIN Eigenwert von A! Ich habe anhand einer 3x3 und einer 2x2 Matrix nachgerechnet, dass es scheinbar stimmt. Nur wieso? Der Hinweis auf die Eigenwerte steht bloß im Text und ist nicht von mir. Daher dachte ich, dass man die Identität mithilfe der Eigenwerte irgendwie beweisen kann. Ich habe es übrigens gerade gefunden: https://de.wikipedia.org/wiki/Charakteri...m#Eigenschaften Die identität ergibt sich aus der fünften Eigenschaft (knapp vor dem Beispiel), wenn man setzt. Ich weiß zwar nicht we man darauf kommt, die Matrixgleichungen so hinzuschreiben, aber es ist zumindest nachvollziehbar. |
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| 05.04.2016, 18:57 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tut mir leid, dann habe ich die Aufgabe missverstanden. s kann ja auch kein Eigenwert sein, weil sonst die Matrix genau nicht invertierbar wäre. 
Ich gestehe: ich habe keine Ahnung. Was heißt [Bro74] ? |
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| 05.04.2016, 19:22 | schnudl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
[Bro74] Brogan W.L. (1974): Applications of a determinant identity to pole-placement and observer problems. — IEEE Trans. Automat. Contr., Vol.19. Ich habe das leider derzeit nicht. |
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| 05.04.2016, 19:28 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich leider auch nicht, nie gehabt. Der Brogan wird's vermutlich gewußt haben. |
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| 05.04.2016, 23:56 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu Fuß bekommt man leicht heraus, dass und die gleichen von 1 verschiedenen Eigenwerte haben. Man kann wohl auch zeigen, dass diese EW die gleiche geometrische Vielfachheit haben. Allerdings sehe ich nicht, wie man zu Fuß zeigt, dass die algebraischen Vielfachheiten - und auf die kommt es hier an - gleich sind. |
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