Lineare Abbildung: Isomorphie nachweisen

03.04.2016, 16:57	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung: Isomorphie nachweisen Hallo zusammen, ich habe eine lineare Abbildung f und soll nachweisen, dass es sich um einen Isomorphismus handelt. Die Matrix A von f ist: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus habe ich die inverse Matrix bestimmt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Frage ist, was sagt das jetzt über die Bijektivität aus? Reicht es zu wissen, dass die Matrix von f invertierbar ist? Danke schonmal! Gruß cmplx96
03.04.2016, 17:16	MeMeansMe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung: Isomorphie nachweisen Hey, wenn die Matrix invertierbar ist, ist die zugehörige Abbildung bijektiv, das stimmt schon. Aber ich würde trotzdem versuchen, noch zu argumentieren, warum das so ist. Stichwort: Determinante (das wäre jedenfalls der einfachste Ansatz, vermute ich). Und da du schon eine Matrix für die Abbildung gefunden (?) hast, muss die Abbildung auch linear sein, da zu jeder linearen Abbildung auch eine Abbildungsmatrix existiert.
03.04.2016, 17:25	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, danke für die Antwort, ist eine Matrix genau dann invertierbar, wenn man eine inverse Matrix mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus finden kann? Oder was würde bei dem Algorithmus passieren, wenn die Matrix nicht invertierbar ist? Zu deinem Hinweis: Die Determinante der Matrix A ist ungleich 0. Daraus folgere ich, dass der Rang der Matrix voll ist (in diesem Fall 3). Die Dimension des Bildes der Abbildung ist daher auch 3 und die des Kerns 0. Eine Abbildung ist injektiv, wenn die Dimension des Kerns 0 ist. Aber wie komme ich jetzt noch auf Surjektivität?
03.04.2016, 17:36	MeMeansMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, gerne Im Prinzip kannst du immer zeigen, dass eine Matrix invertierbar ist, indem du die Inverse findest, klar. Wenn du den Algorithmus anwendest, obwohl die Matrix nicht invertierbar ist, dann erhältst du z.B. eine Zeile in der erweiterten Matrix, wo dann im Endeffekt so etwas steht wie $\begin{eqnarray} 0=1 \end{eqnarray}$ . Zu deiner Argumentation: sehr gut Dass aus $\begin{eqnarray} \dim\operatorname{Im}f = 3 \end{eqnarray}$ folgt, dass die Dimension des Kerns 0 ist, könntest du evtl. noch mit einem bestimmten Satz aus der Vorlesung untermauern. Die Surjektivität hast du schon, da der Rang der Matrix/Abbildung maximal ist Zudem: wenn du eine lineare Abbildung hast, folgt aus Injektivität automatisch auch Surjektivität (also Bijektivität); auch aufgrund dieses einen Satzes.
03.04.2016, 17:41	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist dann wohl der Rangsatz bzw. Dimensionssatz. alles klar, super! vielen dank dir!!
03.04.2016, 17:44	MeMeansMe	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig! Gerne
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