Konvergenzradius Potenzreihe

03.04.2016, 19:11

Torben1991

Konvergenzradius Potenzreihe

Guten Abend,

ich verzweifel hier gerade leider am Konvergenzradius einer Potenzreihe.

Es geht um die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{ 2^n} x^{2n} \end{eqnarray*}$

Die Musterlösung besagt, dass der Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist. Leider ist kein Rechenweg dabei, sondern nur das Zahlenergebnis.

Ich gehe wie folgt vor.

Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r= \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}} \end{eqnarray*}$
Wobei lim den limsup darstellen soll.

Mit $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n^2}{2^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r= \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n^2}{2^n}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r= \frac{1}{\lim_{n \to \infty}{\frac{n^\frac{2}{n}}{2^\frac{n}{n}}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r= \frac{1} {\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=2 \end{eqnarray*}$

Wenn ich es es mit der Formel

$\begin{eqnarray*} r= \lim_{n \to \infty} | \frac{a_n}{a_{n+1}} | \end{eqnarray*}$

ausrechne, komme ich auch auf 2.

Könnt Ihr mir sagen, wo mein Fehler liegt?

03.04.2016, 19:16

HAL 9000

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2 ist der Konvergenzradius der Potenzreihe

$\begin{align*} f(z):=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} z^n \end{align*}$

bei dir steht aber Potenz $\begin{align*} x^{2n} \end{align*}$ , wegen $\begin{align*} x^{2n} = (x^2)^n \end{align*}$ entspricht deine Potenzreihe dann $\begin{align*} f(x^2) \end{align*}$ ...

03.04.2016, 19:19

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RE: Konvergenzradius Potenzreihe
Mit $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n^2}{2^n} \end{eqnarray*}$ sähe deine Reihe so aus $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{ 2^n} x^{n} \end{eqnarray*}$
Edit: Und weg Wink

03.04.2016, 20:13

Torben1991

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Ahh ok, danke.
Hätte ich auch selbst draufkommen können!

Vielen Dank euch beiden!

03.04.2016, 20:26

Torben1991

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Nur zum Abschluss noch eine kleine Frage.

Ist es legitim, wenn ich als ersten Schritt dann direkt die Substitution

$\begin{eqnarray*} z=x^2 \end{eqnarray*}$

Dann hätte ich die Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{ 2^n} z^{n} \end{eqnarray*}$

Und könnte meine Rechnung normal beenden und am Ende die Substitution rückgängig machen, oder ist das nicht erlaubt?

03.04.2016, 22:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von Torben1991
und am Ende die Substitution rückgängig machen

Kommt drauf an, was du darunter verstehst. verwirrt

03.04.2016, 23:15

Torben1991

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Zitat:

Original von HAL 9000
kommt drauf an, was du darunter verstehst. verwirrt

Wenn ich $\begin{eqnarray*} z=x^2 \end{eqnarray*}$ setzte, bekomme ich wie erwähnt die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty n} \frac{n^2}{2^n} z^{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n^2}{2^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_z=\frac{1}{\limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{\frac{n^2}{2^n}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_z=2 \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} z=x^2 -> \sqrt{z}=x \end{eqnarray*}$

Daraus würde ich folgern
$\begin{eqnarray*} R_x=\sqrt{R_z} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R_x = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Geht das so? (Abgesehen von vielleicht falsch mathematischer "Beschreibung"?

04.04.2016, 08:11

HAL 9000

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Ja, so ungefähr. Exakter wäre es mit Beträgen:

Konvergenz für $\begin{align*} |z|=|x^2|<2 \end{align*}$ , d.h. nach Wurzelziehen $\begin{align*} |x|<\sqrt{2} \end{align*}$ , entsprechend Divergenz für $\begin{align*} |z|=|x^2|>2 \end{align*}$ , also $\begin{align*} |x|>\sqrt{2} \end{align*}$ . Macht zusammen Konvergenzradius $\begin{align*} \sqrt{2} \end{align*}$ für die x-Potenzreihe.

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