Integration

03.04.2016, 20:22

Silentg

Integration

Hallo zusammen,

ich muss folgendes Integral lösen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{0} \! (1+t)e^{-\pi ikt} \, dt \end{eqnarray*}$

Meine erste Idee war die Klammer auszumultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{0} \! e^{-\pi ikt}+te^{-\pi ikt} \, dt \Rightarrow \left[\frac{1}{-i\pi k}e^{-i\pi kt} \right]_{-1}^{0}+\left[\frac{1t^{2} }{-2i\pi k }e^{-i\pi kt} \right]_{-1}^{0} \end{eqnarray*}$

Was haltet Ihr davon?

Gruß
Silentg

03.04.2016, 23:34

mYthos

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Leider nur die Hälfte Big Laugh

Das erste Integral stimmt, das zweite jedoch nicht. Dort kannst du nicht so einfach nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ integrieren und durch die Ableitung des Exponenten dividieren, das geht nur dann, wenn die e-Potenz alleine steht.
Es steht aber noch der Faktor $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ dabei.
Unter Umständen hilft partielle Integration, allerdings erhalte ich beim umbestimmten Integral ziemlich hässliche (komplexe) Resultate.

Nach dem Einsetzen der Grenzen wird's dann (besser) zu

$\begin{eqnarray*} \ldots = \frac 1 {k^2 \pi^2} - \frac 1 {k \pi} i - \frac{(-1)^k}{k^2 \pi^2} \end{eqnarray*}$

Aus welcher Zahlenmenge kommt $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ?
-------
Sicher keine Schulmathematik, ich verschiebe das in die HS.

mY+

04.04.2016, 13:16

Silentg

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Hallo,

k ist ein Element der reellen Zahlen.

Ich habe mir gerade die Musterlösung besorgt. So richtig nachvollziehen kann ich sie trotzdem nicht:
$\begin{eqnarray*} = \left[\frac{1}{-i\pi k}e^{-i\pi kt} \right]_{-1}^{0}+\left[\frac{1}{-i\pi k}te^{-i\pi kt} \right]_{-1}^{0}+ \frac{1}{i\pi k} \int_{-1}^{0} \! \left(1-t\right)e^{-i\pi kt} \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left[\frac{1}{-i\pi k} \left(1-e^{i\pi k} \right)+ \frac{1}{-i\pi k}e^{i\pi k}+\frac{1}{\pi ^{2}k^{2} } e^{-i\pi kt} \right]_{-1}^{0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{-i\pi k}+\frac{1}{\pi ^{2}k^{2} } \left(1-e^{-i\pi k} \right) \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, ich komme trotz Musterlösung nicht drauf. Und die partielle Integration finde ich darin auch nicht wieder.

Gruß
Silentg

04.04.2016, 13:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Silentg
$\begin{eqnarray*} = \left[\frac{1}{-i\pi k}e^{-i\pi kt} \right]_{-1}^{0}+\left[\frac{1}{-i\pi k}te^{-i\pi kt} \right]_{-1}^{0}+ \frac{1}{i\pi k} \int_{-1}^{0} \! {\color{red}\left(1-t\right)}e^{-i\pi kt} \, dt \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} {\color{red}\left(1-t\right)} \end{eqnarray*}$ gehört gestrichen (d.h. es steht dort nur Faktor 1), ansonsten stimmt die Zeile mit einer ordnungsgemäß durchgeführten partiellen Integration überein. Die Folgezeilen bestätigen das.

Zitat:

Original von Silentg
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left[\frac{1}{-i\pi k} \left(1-e^{i\pi k} \right)+ \frac{1}{-i\pi k}e^{i\pi k}+\frac{1}{\pi ^{2}k^{2} } e^{-i\pi kt} \right]_{-1}^{0} \end{eqnarray*}$

Falsche Klammerpositionierung - richtig wäre

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{-i\pi k} \left(1-e^{i\pi k} \right)+ \frac{1}{-i\pi k}e^{i\pi k}+\left[\frac{1}{\pi ^{2}k^{2} } e^{-i\pi kt} \right]_{-1}^{0} \end{eqnarray*}$ ,

denn die ersten beiden Terme wurden hinsichtlich der Grenzen -1 und 0 ja schon ausgewertet!

Zitat:

Original von Silentg
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{-i\pi k}+\frac{1}{\pi ^{2}k^{2} } \left(1-e^{-i\pi k} \right) \end{eqnarray*}$

Richtig ist eigentlich zunächst

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{-i\pi k}+\frac{1}{\pi ^{2}k^{2} } \left(1-e^{i\pi k} \right) \end{eqnarray*}$ .

Für ganzzahlige $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ macht es allerdings keinen Unterschied zu deinem Ergebnis. Augenzwinkern

04.04.2016, 14:37

Silentg

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Ok stimmt bei der $\begin{eqnarray*} \left(1-t\right) \end{eqnarray*}$ bin ich in der Zeile verrutscht. Auch mit der Klammer hast du natürlich recht.

Ich glaube jetzt ist der Groschen gefallen. Vielen Dank

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