Majorantenkriterium

03.04.2016, 22:41	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Majorantenkriterium Hi, der Satz (siehe Anhang) setzt einen Banachraum voraus. Gibt es dafür einen ersichtlichen Grund, oder benötigt es einen komplexen Beweis um das zu sehen? Banachraum heisst ja, dass jede Cauchyfolge konveriert. Warum tut es z.b. nicht ein "normaler" normierter Raum? Ich sehe den Zusammenhang nicht auf den ersten Blick.. Danke!
03.04.2016, 23:01	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, der Satz wird sonst tatsächlich falsch. Betrachte etwa den Vektorraum der reellen Polynome auf $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ versehen mit der Supremumsnorm. Jetzt betrachte $\begin{eqnarray} a_n := \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray}$ . Eine Majorante findest du sicher selbst Konvergiert die Reihe über $\begin{eqnarray} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray}$ in dem Raum? Entscheidend ist, dass in einem Banachraum jede absolut konvergente Reihe auch konvergiert, das ist in nicht vollständigen Räumen nicht der Fall.

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