Funktionsgleichung einer Parabel bestimmen

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sunlove Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsgleichung einer Parabel bestimmen
Hallo zusammen,

ich soll zu einer Parabel die Funktionsgleichung bestimmen. Folgendes habe ich gegeben:

Die Parabel hat bei x11=1 ein Minimum. Zudem habe ich noch die Punkte P2 (2/3) und P3 (-1/9). Meine Frage was hat es mit dem Minimum auf sich? Ich komme nicht drauf die Funktionsgleichung zu bestimmen, kann mir jemand weiterhelfen?

Ich bedanke mich für eure Hilfe!!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wie setzst du die (unbekannte) Gleichung der Parabel p(x) an?
Darin werden sich (weil die Gleichung quadratisch ist) 3 Parameter befinden und dazu brauchst du auch 3 Beziehungen.

1) x-Stelle des Extremwertes (Scheitel)
2) P2 auf der Kurve
3) P3 auf der Kurve

Wenn du in die Bedingung für den Scheitelwert und der beiden Punkte P2, P3 jeweils die Koordinaten einsetzst, bekommst du ein lineares Gleichungssystem.

Hinweis:
Das sich das Minimum an der Stelle x = 1 befindet, ist p'(1) = 0
-------
Alternativen Lösungsmöglichkeiten (ohne Ableitung):
Es besteht Symmetrie in Bezug auf den Scheitel, somit kann zu dem rechts davon liegenden Punkt 2/3 ein weiterer Punkt (auf der y-Achse) bestimmt werden.
-------
Oder: Setze den x-Wert des Tiefpunktes in die Scheitelgleichung der Parabel ein.

mY+
 
 
sunlove Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

so wie ich das verstehe brauche ich zu dem Scheitelwert x=1 noch den y-Wert, richtig? Dann hätte ich drei Punkte und könnte so die Gleichung mit der Grundform ax²+bx+c=y lösen.

Ich stehe leider immer noch auf der Leitung unglücklich
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sunlove
...
brauche ich zu dem Scheitelwert x=1 noch den y-Wert, richtig?
...

Nein, denn dann wäre die Angabe überbestimmt!
Der Scheitel ist ein besonderer Punkt, d.h. man kann auf Grund seiner Eigenschaft (und mit seinem x = 1) eine eigene Beziehung (zwischen a, b) erstellen.

Hast du denn meine Hinweise im vorigen Beitrag (nicht!) gelesen?
Dotten Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen,
dieser Threat ist bereits etwas älter, jedoch nicht vollends gelöst.

Im Rahmen meines Studiums bin ich ebenfalls auf diese Aufgabe gestoßen:
Gegeben: Die Parabel hat bei x11=1 ein Minimum. Zudem habe ich noch die Punkte P2 (2/3) und P3 (-1/9).
Mein Ansatz bisher ist folgender:

Form: f(x) = ax² + bx + c
Ableitung: f´(x) = 2ax + b

P1 = Minimum = p´(1) = 0; (x=1)
P´(1) = 2ax + b
0 = 2a + b

Gleichung:
a + b + c = y
P1 2a + b = 0
P2 4a + 2b + c = 3
P3 a - b + c = 9

Nun müsste ich eigtl. nur die Gleichung auflösen um auf die Funktionsgleichung zu kommen!?
Ist das soweit korrekt?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dotten
P1 = Minimum = p´(1) = 0; (x=1)

Leider auch hier die Unsitte, zwischen allen möglichen Dingen, die überhaupt nicht vergleichbar sind, ein Gleichheitszeichen zu setzen. unglücklich

Zitat:
Original von Dotten
P´(1) = 2ax + b

Erstens hast du f als Bezeichner für die Funktion und zweitens müßte es dann f'(1) = 2a*1 + b lauten

Zitat:
Original von Dotten
a + b + c = y

Was willst du mit dieser (unbrauchbaren) Gleichung?

Zitat:
Original von Dotten
Nun müsste ich eigtl. nur die Gleichung auflösen um auf die Funktionsgleichung zu kommen!?
Ist das soweit korrekt?

Ja. smile
Dotten Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank schonmal klarsoweit. Freude

Form: f(x) = ax² + bx + c
Ableitung: f´(x) = 2ax + b

Miminum: x11 = 1
f´(1) = 2a*1 + b

Gleichung:
P1 2a + b = 0
P2 4a + 2b + c = 3
P3 a - b + c = 9

Nach Gauß käme dann raus:
a = 2
b = -4
c= 3

f(x) = 2x² - 4x +3

Das wäre dann schon alles? verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig!

mY+
Saruman Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Stehe absolut auf dem Schlauch bzgl. des Lösungsweges. Mich verwirrt, das das c in der ersten Gleichung fehlt. Wie soll man das Gleichungssystem auflösen?
Bitte dringend um Hilfe.
DANKE!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Anfrage bezieht sich auf dieses Gleichungssystem:
Zitat:
Original von Dotten
Gleichung:
P1 2a + b = 0
P2 4a + 2b + c = 3
P3 a - b + c = 9

Grundsätzlich kann man ein lineares Gleichungssystem narrensicher (passend zur aktuell laufenden 5. Jahreszeit, hihi) mit dem Gauß-Verfahren lösen. Sollte man dieses nicht kennen, kann man im obigen Fall die 1. Gleichung nach b auflösen und das in die anderen beiden Gleichungen einsetzen. Dann hat man ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen und ist im bekannten Muster. Augenzwinkern
Fragn Auf diesen Beitrag antworten »

Wie komme ich auf den Punkt P1 (2a + b = 0)?
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Minimum bei x=1
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte übrigens das Minimumkriterium von vorneherein in den Ansatz einbringen (hat mYthos mit dem Hinweis auf die Scheitelform beinahe unmerklich in seinem ersten Beitrag schon erwähnt). Dann hat man nur noch zwei Parameter, sagen wir zu bestimmen:



Und ein weiteres Problem, auf das nach schnellem Durchlesen keiner der Beiträge eingegangen zu sein scheint. Die aufgestellten Bedingungen enthalten nicht alle Forderungen der Aufgabe. Diese ist insofern überbestimmt. Da sich jedoch aus dem LGS eine eindeutige Lösung ergibt, könnte diese auch falsch sein. Darauf sollte man am Ende mit wenigen Worten eingehen.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold: Ich habe die Aufgabe nur überflogen, aber die Frage der Überbestimmheit scheint mir von mythos beantwortet zu sein. Welche Bedingung ist denn nicht berücksichtigt?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe fordert ausdrücklich ein Minimum, in meinem Ansatz also zusätzlich , im andern Ansatz . Die gefundene Lösung ist daran noch zu überprüfen.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, danke. Kommt davon, wenn man zu schnell fliegt smile
Fragn Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie kann ich das berechnen?
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Was "das" ?
Fragn Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, das Zitat wurde nicht übernommen.
Ich meinte, wie ich von X11=1 auf den Term 2a + b = 0 komme.
Die Ableitung von ax²+bx+c ist doch 2ax+b, oder?
Dann ist f'(1) = 2a*1+b . Aber wieso ergibt das 0?
URL Auf diesen Beitrag antworten »

ist notwendig, damit x=1 Extremstelle ist.
Nullstellen der Ableitung sind doch die üblichen Verdächtigen für Extremstellen.
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