h-Methode: Werte korrekt einsetzen

Neue Frage »

JoGie_ Auf diesen Beitrag antworten »
h-Methode: Werte korrekt einsetzen
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich versuche gerade, die "H-Methode" zu verstehen, und bin dabei, ein Beispiel nachzurechnen.

Gegeben ist , dies muss man in die Formel einsetzen.



Meine Ideen:
In unserem Beispiel ist nun, nachdem man die Werte eingesetzt hat, gegeben:


Für mich macht das aber irgendwie keinen Sinn, denn für mich wäre die richtige Lösung eigentlich

Was mache ich hier falsch? Ich verstehe diesen Schritt irgenwie nicht..
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn f(x)=x³ lautet, dann bedeutet f(x+h), dass man für alle x im Funktionsterm zu f(x) den Term x+h einsetzt.
Da in f(x)=x³ lediglich einmal x steht, wird somit dieses x durch (x+h) ersetzt, was dann zu (x+h)³ führt.

(x+h)³ ist gewiss nicht x³+h - wie kommst du darauf ?

2 Möglichkeiten:

1) Benutze (falls bekannt) das Pascalsche Dreieck zum Umformen von (x+h)³

2) Nutze den Zusammenhang (x+h)³=(x+h)(x+h)(x+h) und multipliziere aus
Ginso Auf diesen Beitrag antworten »
RE: H-Methode: Werte korrekt einsetzen
außerdem würde bei deiner Version direkt 1 herauskommen für alle h(solange ).
Der Grenzwert wäre also Sinnlos.
Was man damit erreichen will, ist ja die Steigung der Tangenten die den Graphen von f in (x,f(x)) berührt.
Für ein beliebiges h betrachten wir jetzt die Gerade die f an den Stellen x und x+h schneidet, also durch die Punkte (x,f(x)) und (x+h,f(x+h)) geht.
Die Steigung dieser Geraden können wir mit diesen beiden Punkten berechen mit.
Wenn wir jetzt h gegen 0 laufen lassen, so wander der Punkt (x+h,f(x+h)) immer weiter richtung (x,f(x)). und die Gerade nähert sich immer mehr der Tangente an. Allerdings können wir h=0 nicht einsetzen denn sonst hätten wir ja . Deswegen brauchen wir den Limes.
Nun zu der Umformung Schau dir doch ein paar Beispiele an.
Angenommen f(2+1) muss ja das gleiche sein wie f(3) also und das ergibt 27.
würdest du rechnen, kämst du nur auf 9, deswegen muss sein
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Ginso
Ich bitte dich, einmal die Boardregeln durchzulesen und auch zu beachten!

Bitte antworte NICHT in einem Thread, in dem sich schon ein Helfer eingebracht hat, vor allem so lange nicht, als auf eine Hilfeleistung noch keine Reaktion seitens des Threadstellers erfolgt ist.
Und bitte, nimm nicht zu viele Einzelheiten vorweg, auf diese Dinge sollte der Fragesteller möglichst selbst kommen.
Björn hat im Prinzip schon alles Nötige dazu gesagt und es ist abzuwarten, was JoGie_ damit anfangen kann.

Du solltest nur dann in den Thread eingreifen, wenn längere Zeit keine Antwort erfolgt ist und der Fragesteller offensichtlich darauf wartet (z.B. wenn der Helfer längere Zeit offline ist) oder du einen Fehler zu entdecken vermeinst, den andere übersehen haben, oder sonstige Ungereimtheiten auftauchen.

mY+
JoGie_ Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für die Antworten.
Mit der Formulierung
Zitat:
dass man für alle x im Funktionsterm zu f(x) den Term x+h einsetzt

habe ich aber noch ein paar Probleme.
Habe ich es richtig verstanden, dass man alles was hinter der Klammer von f(...) steht dann in diesem konkreten Beispiel hoch 3 stellt?


Ich habe hier ebenfalls eine weitere Aufgabe, in der f(x)=2x+1 ist.
Wie setze ich das korrekt in die h-Formel ein? Damit habe ich irgendwie gerade noch Probleme.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mich nur wiederholen:

Setze überall, wo ein x steht, nun eben x+h ein - genau das bedeutet f(x+h).
 
 
JoGie_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.
Um noch einmal auf mein Beispiel zurückzukommen:
Ich möchte f(x)=2x+1 in meine Formel (s. oben) einsetzen.

Ich ersetze also nun alle x durch 2x+1.
Dann wird aus der Formel nun ? Das macht für mich irgendwie keinen Sinn.. Wo ist der Denkfehler? :/
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:


Es geht doch zunächst mal darum, das hier zu benutzen.

Wenn deine Funktion jetzt z.B. f(x)=5x²-8x+1 lauten würde, dann bedeutet f(x+h), dass du dann jedes x durch x+h ersetzt, wodurch somit 5(x+h)²-8(x+h)+1 entsteht.
Statt 5x² schreibt man also 5(x+h)² und statt -8x schreibt man -8(x+h).

Jetzt klar ?
JoGie_ Auf diesen Beitrag antworten »

Achso! Danke, das hat mir gerade etwas "die Augen geöffnet"..
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann sind wir ja einen Schritt weiter.
Ist dir der Rest klar oder hast du sonst noch Fragen z.B. zum weiteren Verlauf oder auch allgemein zum Grund, wofür diese h-Methode überhaupt gut ist ?
JoGie_ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
wofür diese h-Methode überhaupt gut ist
'
Naja, man verwendet die h-Methode ja allgemein, um die Änderungsrate in einem bestimmten Abschnitt einer Steigungsfunktion möglichst genau zu bestimmen.
Die h-Methode ist halt sinnvoll, weiil sie die Intervalllänge extrem klein hält, und man somit auf ein genaues Ergebnis kommt.
Stimmt das so ungefähr? Augenzwinkern
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor ich darauf genauer eingehe, frag ich nochmal vorab:

Was wird denn am Ende der h-Methode dann noch mit dem h bzw. den h's gemacht ?
JoGie_ Auf diesen Beitrag antworten »

Der letzte Schritt ist
lim
h->0

Also werden alle h's durch eine 0 ersetzt, und lösen sich auf
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die h-Methode ist halt sinnvoll, weiil sie die Intervalllänge extrem klein hält,


Letztendlich nähert sich die Intervalllänge h also - und damit greife ich das auf, was du im letzten Beitrag geschrieben hast - dem Wert Null.
Man sorgt damit also dafür, dass die Steigung der Geraden (Sekante) zwischen zwei Punkten des Graphen von f schließlich zur gesuchten Tangentensteigung wird.
Die Steigung der Tangente stimmt somit mit der Steigung des Graphen an einer bestimmten Stelle x überein.
Prinzipiell ist die h-Methode also dazu da, dass man in jedem beliebigen Punkt des Graphen einer Funktion die entsprechende Steigung bestimmen kann.
Insbesondere Punkte des Graphen, an denen die Steigung Null ist (Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte) sind damit dann endlich rechnerisch bestimmbar.
Nun ist das damit (mit diesem Verfahren) jedoch meist recht umständlich und aufwändig, so dass ihr bald dann auch spezielle Regeln (Ableitungsregeln) herleiten werdet, die einem das ganze Theater erheblich erleichtern werden. Augenzwinkern
JoGie_ Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar. Danke für deine Hilfe.. Ich bin froh, dass die H-Methode bald vorbei ist smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von JoGie_
Der letzte Schritt ist
lim
h->0

Also werden alle h's durch eine 0 ersetzt, und lösen sich auf

Es ist etwas gewagt, den Grenzübergang h --> 0 mit "h durch 0 ersetzen" zu interpretieren. In manchen Fällen mag das gehen. Aber was machst du bei ?
JoGie_ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wüsste nicht genau, was ich da machen müsste, das h kann ich ja nicht bei dem Bruch ersetzen (Durch 0 teilen ist nicht möglich).
Da wir aber den limes auch nicht ausführlicher besprochen haben, und jetzt mit den Ableitungen anfangen, sitzt dort auch nicht meine Priorität Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von JoGie_
Da wir aber den limes auch nicht ausführlicher besprochen haben, und jetzt mit den Ableitungen anfangen

Das ist natürlich etwas ungünstig, denn bei der Definition der Ableitung über den Grenzwert des Differenzenquotienten kommt man an dem Grenzwertbegriff nur schwer vorbei. smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »