Beziehung zwischen Kern einer Matrix A und A² bzw A³

04.04.2016, 18:49

cmplx96

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Beziehung zwischen Kern einer Matrix A und A² bzw A³

Guten abend zusammen,

ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter.

1.)
"A sei eine 3x3-Matrix. Welche Beziehung ( $\begin{eqnarray*} = ,\neq ,\subseteq ,\subset , \supset, \supseteq \end{eqnarray*}$ ) besteht zwischen dem Kern von A und dem Kern von A² und A³?"

Ich würde intuitiv erstmal sagen, dass der Kern von A ungleich dem Kern von A² bzw A³ ist.

2.) "Was gilt für A = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?"

Hier habe ich einfach mal A² berechnet und bin auf A² = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gekommen.
Weiter komme ich leider nicht.

Danke schonmal,
cmplx96

04.04.2016, 19:02

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RE: Beziehung zwischen Kern einer Matrix A und A² bzw A³
Deine Intuition trügt, die der Fall A=I (Einheitsmatrix) zeigt.
Wenn Ax=0 ist, was ist dann A(Ax)?

04.04.2016, 20:05

cmplx96

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auch = 0 ?

04.04.2016, 20:54

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Ja klar. Und was heißt das für die Aufgabe?

04.04.2016, 21:28

cmplx96

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Das der Kern der Matrix A gleich dem Kern der Matrix $\begin{eqnarray*} A^{n} \end{eqnarray*}$ ist, wobei n $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

04.04.2016, 21:43

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Nein, das ist falsch. Wie kommst du darauf?

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04.04.2016, 21:51

cmplx96

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Achso, dass der Kern von A^2 = Kern(A) * A ist?

04.04.2016, 22:03

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Was soll denn Kern(A) * A sein?

05.04.2016, 16:41

cmplx96

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ich habe nochmal nachgedacht.
Ich glaube, dass es bedeutet, dass der Kern der Matrix A² und auch A³ immer eine Teilmenge des Kerns der Matrix A ist.

05.04.2016, 17:17

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Zitat:

Kern der Matrix A² [...] immer eine Teilmenge des Kerns der Matrix A

Du meinst also, aus $\begin{eqnarray*} A^2x=0 \end{eqnarray*}$ folgt immer $\begin{eqnarray*} Ax=0 \end{eqnarray*}$ ?
Das ist falsch.

06.04.2016, 18:43

cmplx96

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Dann komme ich leider nicht alleine drauf unglücklich

unglücklich

06.04.2016, 19:40

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Du hast doch schon heraus gefunden, dass aus $\begin{eqnarray*} Ax=0 \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} A^2x=0 \end{eqnarray*}$ folgt.
Das musst du nur noch in eine Teilmengenbeziehung umschreiben.

06.04.2016, 20:10

cmplx96

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aber ich dachte, dass der Kern von A² keine Teilmenge des Kerns von A ist, oder hab ich das falsch verstanden?

06.04.2016, 20:12

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Das ist er auch nicht. Vielmehr gilt $\begin{eqnarray*} x\in Kern(A)\iff Ax=0\Rightarrow A^2x=0 \iff x\in Kern(A^2) \end{eqnarray*}$

06.04.2016, 20:27

cmplx96

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Gilt das für beliebige n bei $\begin{eqnarray*} A^{n} \end{eqnarray*}$ ?
Ist x ein Vektor aus der Menge Kern(A) ?

06.04.2016, 20:31

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Zitat:

Gilt das für beliebige n bei $\begin{eqnarray*} A^{n} \end{eqnarray*}$ ?

Welche Aussage soll für für beliebige n bei $\begin{eqnarray*} A^{n} \end{eqnarray*}$ gelten?

Zitat:

Ist x ein Vektor aus der Menge Kern(A) ?

Diese Frage verstehe ich angesichts $\begin{eqnarray*} x\in Kern(A)\iff ... \end{eqnarray*}$ nicht. Genau das hatte ich doch geschrieben.

06.04.2016, 20:56

cmplx96

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Danke für deine Antworten!
Damit meine ich, ob auch
$\begin{eqnarray*} x \in Kern(A) \Leftrightarrow Ax = 0 \Rightarrow A^{n}x = 0 \Leftrightarrow x \in Kern(A^{n}) \end{eqnarray*}$ gilt.
Sorry, ich wollte nochmal sicher gehen.

06.04.2016, 21:05

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Ja, das gilt. Und du solltest dir auch überlegen, warum das gilt.
Oder allgemeiner, welche Beziehung besteht zwischen $\begin{eqnarray*} Kern(A^j) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Kern(A^{j+1}) \end{eqnarray*}$

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