Zeigen, dass ein Raum ein Banachraum ist

05.04.2016, 07:43	Tamsin67	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass ein Raum ein Banachraum ist "Sei I ein abgeschlossenes (endliches) Intervall, $\begin{eqnarray} L \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Versehen Sie den Raum $\begin{eqnarray} C(I ; \mathbb{R}^d) \end{eqnarray}$ der stetigen Funktionen mit der Norm $\begin{eqnarray} \|\|z\|\|_X := max_{t \in I} e^{-2Lt} \|\|z(t)\|\|_{\mathbb{R}^d} \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass dieser Raum ein Banachraum ist. (Sie dürfen verwenden, dass der Raum $\begin{eqnarray} C(I ; \mathbb{R}^d) \end{eqnarray}$ versehen mit der "üblichen" Norm ein Banachraum ist). Geben Sie einen Teilraum von $\begin{eqnarray} C( \mathbb{R} ; \mathbb{R}^d) \end{eqnarray}$ (und eine Norm) an, sodass ein Banachraum entsteht." Meine Idee wäre zu zeigen, dass die Cauchy-Folgen oder konvergenten Folgen bzg. der ersten Norm genau die Cauchy-Folgen oder konvergenten Folgen bzgl. der zweiten Norm sind. Würde das als Beweis reichen?
05.04.2016, 09:30	Tamsin67	Auf diesen Beitrag antworten »
Egal, ich habs schon.
05.04.2016, 09:48	Tamsin67	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich brauche aber beim 2. Teil Hilfe. Ich soll einen Teilraum von $\begin{eqnarray} C( \mathbb{R} ; \mathbb{R}^d) \end{eqnarray}$ (und eine Norm) angeben, sodass ein Banachraum entsteht.
05.04.2016, 10:15	Tamsin67	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das hat sich auch erledigt
05.04.2016, 10:15	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man den Aufgabensteller ärgern will, so ist $\begin{eqnarray} \{ 0 \} \subset C(\mathbb R, \mathbb R^d) \end{eqnarray}$ ein Banachraum. Allgemeiner tut es jeder endlich--dimensionaler Teilraum. Interessanter wären aber die beschränkten, stetigen Funktionen.

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