Konvergenzradius bestimmen

05.04.2016, 17:40	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius bestimmen Hi, es geht darum den Konvergenzradius der folgenden Reihe zu bestimmen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \left(1+i^{k} \right)^{k} z^{k} \end{eqnarray}$ . Es ist also $\begin{eqnarray} a_{k}= \left(1+i^{k} \right)^{k} \end{eqnarray}$ . Fuer den Konvergenzradius brauche ich ja die n-te Wurzel aus dem Betrag von a_k. Meine erste Frage ist wie berechne ich in diesem Fall den Betrag von a_k? Danke!
05.04.2016, 19:24	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius bestimmen Du brauchst die k-te Wurzel aus \|a_k\| Am einfachsten, indem du überlegst, welche Werte $\begin{eqnarray} 1+i^k \end{eqnarray}$ überhaupt annehmen kann (ich gehe mal davon aus, dass es sich bei i um die imaginäre Einheit handeln soll)
05.04.2016, 21:00	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja es sollte die imaginaere Einheit sein (vermute ich zumindest auch). Also es müsste $\begin{eqnarray} a_{k}=0 \end{eqnarray}$ sein fuer k gerade und $\begin{eqnarray} a_{k}=\left(1+i\right) ^{k} \end{eqnarray}$ fuer k ungerade. Wie bekomme ich fuer letzteres den Betrag?
05.04.2016, 23:38	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 1+i^3=? \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1+i^4=? \end{eqnarray}$
06.04.2016, 12:50	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Ups.. Ok, also fuer k=1, 5, 9, .. ist $\begin{eqnarray} a_{k}=(1+i)^k \end{eqnarray}$ fuer k=2, 6, 10, .. $\begin{eqnarray} a_{k}=0 \end{eqnarray}$ fuer k=3, 7, 11, .. ist $\begin{eqnarray} a_{k}=(1-i)^k \end{eqnarray}$ fuer k=4, 8, 12, .. ist $\begin{eqnarray} a_{k}=(2)^k \end{eqnarray}$ richtig? Aber wie komme ich jetzt auf den Betrag von a_k?
06.04.2016, 12:58	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe die Frage nicht. Was ist denn der Betrag von 1+i bzw. 1-i ?
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06.04.2016, 17:37	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich brauch ja den Betrag von $\begin{eqnarray} (1+i )^{k} \end{eqnarray}$ und nicht von $\begin{eqnarray} (1+i) \end{eqnarray}$ oder gilt $\begin{eqnarray} \| 1+i \|^{k} =\| (1+i )^{k}\| \end{eqnarray}$ ? Ok jetzt faellt es mir auf, das sollte nach den "Betragsregeln" tatsaechlich gelten, richtig? Angenommen, das obere stimmt. Dann habe ich fuer alle k ausser k=2, 6, 10,.. $\begin{eqnarray} \sqrt[k]{\| a_{k} \| } =\sqrt{2} \end{eqnarray}$ und fuer den Fall k=2, 6, 10, .. $\begin{eqnarray} \sqrt[k]{\| a_{k} \| } =0 \end{eqnarray}$ . Demenstprechend waere dann mein Limsup $\begin{eqnarray} =\sqrt{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R= \frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray}$ ?
06.04.2016, 19:13	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Suggestivfrage... In den vier genannten Fällen hast du nun für $\begin{align} \sqrt[k]{\|a_k\|} \end{align}$ die vier Werte $\begin{align} \sqrt{2},0,\sqrt{2} \end{align}$ und $\begin{align} 2 \end{align}$ . Was wird davon nun für den limsup der richtige Wert sein?
06.04.2016, 21:27	amateurphysiker_	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ja, das ist ja 2 in dem einen Fall. Ok danke!
06.04.2016, 23:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig.

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