Mehrdimensionale Normalverteilung

05.03.2007, 14:58

Chris_R

Mehrdimensionale Normalverteilung

Hallo!

Seien $\begin{eqnarray*} X_1,X_n,...,X_n \end{eqnarray*}$ unabhängig und identisch verteilt mit Verteilung $\begin{eqnarray*} N(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ . Weiter seien $\begin{eqnarray*} a,b>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y_i=a\cdot X_i + b; 1\leqslant i \leqslant n \end{eqnarray*}$ .

Ich möchte die Verteilung von $\begin{eqnarray*} Y_1 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Ich weiß, dass der Erwartungswert von $\begin{eqnarray*} Y_1 \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} a\cdot\mu+b \end{eqnarray*}$ und, dass die Verteilung von der Form $\begin{eqnarray*} N(\mu ,\sum ) \end{eqnarray*}$ ist, wobei $\begin{eqnarray*} \sum \end{eqnarray*}$ die Kovarianzmatrix ist.
Wie bestimme ich die Kovarianzmatrix in meinem Fall um auf die Verteilung zu kommen?

Gruß,
Chris

05.03.2007, 16:46

Zahlenschubser

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RE: Mehrdimensionale Normalverteilung
Hallo!

$\begin{eqnarray*} Y_1 \end{eqnarray*}$ ist normalverteilt mit $\begin{eqnarray*} \text{E}(Y_1)=a\cdot\text{E}(X_1)+b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \text{var}(Y_1)=a^2\cdot\text{var}(X_1) \end{eqnarray*}$ .

Das ist allerdings keine mehrdimensionale Normalverteilung, sondern einfach eine Transformation einer Zufallsvariablen, also bin ich mir nicht sicher, ob du wirklich das gesucht hast? Zumal du auch nach der Kovarianzmatrix fragst. Meinst du die Summe aller $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ ?

05.03.2007, 21:25

Chris_R

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RE: Mehrdimensionale Normalverteilung

Zitat:

Original von Zahlenschubser
$\begin{eqnarray*} \text{var}(Y_1)=a^2\cdot\text{var}(X_1) \end{eqnarray*}$ .

Wie hast Du das erhalten?

Gruß,
Chris

06.03.2007, 08:55

Zahlenschubser

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RE: Mehrdimensionale Normalverteilung
Einfache Rechenregel oder durch Ableiten über den Erwartungswert:

$\begin{eqnarray*} \text{var}(Y_1)=\text{E}[Y_1-\text{E}(Y_1)]^2=\text{E}[a\cdot X_1-b-(a\cdot\text{E}(X_1)-b)]^2=\text{E}\{a\cdot [X_1-\text{E}(X_1)]\}^2=a^2\cdot\text{E}[X_1-E(X_1)]^2=a^2\cdot\text{var}(X_1) \end{eqnarray*}$ .

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