Zusammenhang Spur und charakteristisches Polynom einer Matrix

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Seims Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang Spur und charakteristisches Polynom einer Matrix
Hallo,
nachdem ich mich jetzt ewig durch Unterlagen gewühlt habe, meld ich mich jetzt mal hier.
In der Uni bekamen wir folgende Aufgabenstellung:

Es sei und man definiere , die Spur von ,
für k = 1, 2, 3. Man zeige, dass das charakteristische Polynom von A gegeben
ist durch .

Meine bisherigen Lösungsansätze schlugen fehl:
  • mit beliebigen Variablen ausschreiben und dann ummultiplizieren. (Habe ich aufgrund der Masse abgebrochen, das Modul umfasst keine drölftausend SWS.)
  • Die Behauptung mithilfe einer Einheitsmatrix beweisen. (Das stimmt für die, aber wie komm ich weiter?)
  • In der Vorlesung bekamen wir folgende Formel: . Ich kann damit aber höchstens den Teil von und zeigen.


Vielen Dank im Vorraus. Ich brauche keine vollwertige Lösung, sondern bin auch Hinweisen in die richtige Richtung sehr dankbar. Gott

Edit: Formeln ganz gemacht.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhang Spur und charakteristisches Polynom einer Matrix
Die Menge der diagonalisierbaren Matrizen liegt dicht in . Damit reicht es aus die Formel für diese zu zeigen. Dafür sollten sich die Rechnungen auch in Grenzen halten.

Edit: Es reicht sogar, dass es ähnlich zu einer Dreiecksmatrix ist. Dann kann man die Determinante als Produkt der Diagonale aufschreiben. Das ganze ist ein Polynom dritten Grades in , d.h. man kann Taylorn und sollte sehr schnell auf die Formel kommen.
Seims Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir nochmal ganz genau die Vorgehensweise erläutern, die ich jetzt durchführen soll? smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhang Spur und charakteristisches Polynom einer Matrix
Sei eine obere Dreiecksmatrix, s.d. . Die Matrizen gibt es, da jede Matrix ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix ist. Seien die Diagonaleinträge von genannt .

Zeige .
Zeige .

Taylor in der Variable bis zum dritten Glied.
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