Lokale Extrema, Funktion mehrerer Veränderlicher

06.04.2016, 16:49

mudmath

Lokale Extrema, Funktion mehrerer Veränderlicher

Servus. Ich hänge momentan an einer Aufgabe fest, die sich als schwieriger entpuppt hat, als ich angenommen hatte. Bei dieser Funktion komme ich nicht so recht weiter.

h(x,y)=xy(x+y-1)

Gesucht sind alle stationären Stellen, an denen der Gradient=(0,0) ist und wir sollen entscheiden ob dort ein Sattelpunkt, lokales Minimum oder lokales Maximum vorliegt.

$\begin{eqnarray*} h_{x}'(x,y)=y(2x+y-1)<br /> h_{y}'(x,y)=x(x+2y-1)<br /> \end{eqnarray*}$

y(2x+y-1)=0

mögliche Stelle
y=0

x(x+2y-1)

mgl.

x=0

hier weiß ich leider nicht wie ich die anderen Stellen berechnen soll wenn ich immer noch 2 veränderliche in der Klammer stehen habe

Die Hessematrix hat dann auch Einträge mit 2 Veränderlichen. Wäre sehr dankbar für eure Hilfe

Gruß

06.04.2016, 18:36

Luscinia

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hiho

Wenn du $\begin{align*} y=0 \end{align*}$ in $\begin{align*} h_y \end{align*}$ einsetzt, erhälst du doch $\begin{align*} x^2-x \end{align*}$ . Nun kannst du davon Nullstellen suchen. Es gibt aber noch eine weitere Möglichkeit, wo $\begin{align*} h_x \end{align*}$ verschwindet, die musst du auch noch bestimmen.

06.04.2016, 19:14

Helferlein

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Zitat:

Original von Luscinia
Wenn du $\begin{align*} y=0 \end{align*}$ in $\begin{align*} h_y \end{align*}$ einsetzt, erhälst du doch $\begin{align*} x^2-x \end{align*}$ .

Nur als Randinfo: Wenn man in die berechnete Formel einsetzt, erhält man $\begin{align*} x(x-1) \end{align*}$ .
Diesen Term auszumultiplizieren, um auf die Nullstellen zu kommen, ist eher kontraproduktiv.

07.04.2016, 11:51

Ehos

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Zu Lösen ist das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} 0=y\cdot (2x+y-1) \end{eqnarray*}$ __________(1)
$\begin{eqnarray*} 0=x\cdot (2y+x-1) \end{eqnarray*}$ __________(2)

---------------------------------------------------------------------------
Zuerst fragen wir, wann beide Gleichungen einzeln erfüllt sind:

Gleichung (1) ist erfüllt, wenn gilt $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ und/oder $\begin{eqnarray*} y=-2x+1 \end{eqnarray*}$ .
Gleichung (2) ist erfüllt, wenn gilt $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ und/oder $\begin{eqnarray*} x=-2y+1 \end{eqnarray*}$ .

---------------------------------------------------------------------------
Damit beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind, gibt es also folgende Kombinationen:

Variante 1: $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$
Variante 2: $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=-2y+1 \end{eqnarray*}$ , also x=1
Variante 3: $\begin{eqnarray*} y=-2x+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , also y=1
Variante 4: $\begin{eqnarray*} y=-2x+1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=-2y+1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x=y=\tfrac{1}{3} \end{eqnarray*}$
---------------------------------------------------------------------------

Damit hast du 4 kritische Punkte, die du untersuchen kannst.

07.04.2016, 22:24

mudmath

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Dankeschön, habe es jetzt hinbekommen.

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