Eigenwert eines Polynoms

06.04.2016, 23:31	Seims	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert eines Polynoms Hallo. Ich habe folgende Aufgabe erhalten: Es sei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Körper, $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein endlich dimensionaler Vektorraum und $\begin{eqnarray} \Phi : V \rightarrow V \end{eqnarray}$ ein Vektorraumhomomorphismus. Es sei $\begin{eqnarray} \lambda \in K \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p(T) \in K[T] \end{eqnarray}$ ein Polynom. Man zeige, dass dann $\begin{eqnarray} p(\lambda) \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} p(\Phi): V \rightarrow V \end{eqnarray}$ ist. Hier meine Lösung: Sei $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ ein Vektor. Dann gilt: $\begin{eqnarray} p(\Phi)(v) = p(\Phi (v)) \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ein Eigenwert ist nach Definition $\begin{eqnarray} p(\Phi (v)) = p(\lambda v) = p(\lambda) v \end{eqnarray}$ . Meine Fragen: Ist das richtig? Wie argumentiere ich die Zwischenschritte? Vielen Dank im Vorraus.
06.04.2016, 23:42	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, es geht hier nicht - wie deine Überschrift suggeriert - um Eigenwerte von Polynomen. $\begin{eqnarray} p(\Phi) \end{eqnarray}$ ist eine lineare Abbildung. $\begin{eqnarray} p( \Phi (v)), p(\lambda v) \end{eqnarray}$ sind i.A. undefiniert, denn es gibt keine Potenz von Vektoren. Daher ist das "Dann gilt " falsch. Ich würde dir zunächst mal dazu raten ein konkretes Bsp. durchzurechnen um zu sehen was die Objekte hier überhaupt sind. Nutze $\begin{eqnarray} A^kv= \lambda ^k v \end{eqnarray}$ für eine Eigenvektor x zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ der Matrix A.
06.04.2016, 23:57	Seims	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es vermutlich falsch aufgeschrieben, als ich versucht habe, das zu vereinfachen. Alternativ war ich bei: $\begin{eqnarray} (a_0+a_1\Phi+\cdots +a_n\Phi ^n)(v) = (a_0 v + a_1 \Phi (v) + \cdots + a_n \Phi ^n(v)) = (a_0 v + a_1 \lambda v + \cdots + a_n\lambda ^n v) = (a_0+a_1\lambda+\cdots+a_n\lambda ^n)v \end{eqnarray}$
07.04.2016, 00:04	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine "Alternative" ist ein richtig und im wesentlichen der Beweis der Aussage.
07.04.2016, 00:05	Seims	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich das trotzdem noch irgendwie in die Schreibweise p(irgendwas) bringen?
07.04.2016, 00:13	tatmas	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja natürlich, solang das irgendwas potenzierbar ist $\begin{eqnarray} p(\Phi ) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p( \lambda ) \end{eqnarray}$ sollen ja irgendwo vorkommen.
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