Rechteck mit reeller Seitenlänge |
| 07.04.2016, 08:59 | Trixi95 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Rechteck mit reeller Seitenlänge Die rationale Seitenlänge würde man so beweisen: Sei a die Länge und b die Breite eines Rechtecks, beide positive rationale Zahlen, so können beide als Brüche dargestellt werden mit a=| AB| = c/p und b= | BC | =d/q, wobei a,p,d,q jeweils Elemente der natürlichen Zahlen sind. Man kann nun das Quadrat der Seitenlänge 1 in p*q Rechtecke mit den Seitenlängen 1/p und 1/q teilen. Alle diese kleinen Rechtecke sind kongruent und ihre Fläche z= 1/p*q. Dieses gegebene Rechteck können wir wiederum in c*d kleine Rechtecke teile daraus folgt Fläche des Rechtecks = (c*d)*/(1/(p*q)= (c*d)/(p*q) und unsere Behauptung ist gezeigt. Der Beweis mit reellen Zahlen müsste eigentlich analog funktionieren, nur komme ich nicht darauf, wie ich die reellen Zahlen richtig annähern muss. Ich hätte bereits an \sqrt{2} = p/ q gedacht, weiß aber nicht ob es die richtige Richtung ist. Kann jemand einen Lösungsansatz bieten? |
||
| 07.04.2016, 16:07 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zu dem fraglichen Rechteck wähle ein in den Abmessungen um höchstens kleineres Rechteck mit rationalen Seitenlängen, und ebenso ein um höchstens größeres Rechteck mit ebenfalls rationalen Seitenlängen - diese Rechtecke gibt es wegen der Dichtheit der rationalen Zahlen innerhalb der reellen Zahlen. Der Flächeninhalt des fraglichen Rechtecks liegt dann zwischen den beiden Flächeninhalten von kleinerem und größeren Rechteck, für diese beiden dürfen wir außerdem die Flächenformel Länge*Breite ja anwenden, wegen der Rationalität der Seitenlängen! Und dann Grenzübergang ergibt in diesem Flächensandwich nur einen möglichen Wert für den Flächeninhalt... |
||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
| Die Neuesten » |
|
