Aufgabe zum Extremwert

07.04.2016, 14:08

Aths

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Aufgabe zum Extremwert

Hallo, ich habe hier eine Aufgabe, zunächst wollte ich mal fragen, wie man bei GeoGebra neben der genannten Funktion auch die genannten Punkte für das Dreieck in dem eingegebenen Intervall einzeichnen kann. Daraufhin würde ich dann die Aufgaben machen.

07.04.2016, 14:21

klarsoweit

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RE: Aufgabe zum Extremwert

Zitat:

Original von Aths
zunächst wollte ich mal fragen, wie man bei GeoGebra neben der genannten Funktion auch die genannten Punkte für das Dreieck in dem eingegebenen Intervall einzeichnen kann.

Mal abgesehen davon, daß es sich um ein Rechteck handelt, kann ich dir bei dieser Frage leider nicht helfen. Interessanter sind ja auch die weiteren Aufgabenteile. smile

smile

07.04.2016, 14:33

Aths

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Stimmt, die sind interessant. Allerdings kann ich die ja nicht ohne die Zeichnung berechnen, oder?

07.04.2016, 14:41

klarsoweit

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Nun ja, es geht auch ohne. Eine Zeichnung oder Skizze hilft natürlich, die Sachlage zu visualisieren. smile

smile

07.04.2016, 14:44

Aths

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Nun versuche ich mal die 3.3:

Bei einem Dreieck hatten wir dafür die Formel:

$\begin{eqnarray*} \frac{f(u)*u}{2} \end{eqnarray*}$

Kann ich dann jetzt beim Rechteck, da man dort nicht durch 2 teilen muss die Formel nehmen?:

$\begin{eqnarray*} f(u)*u \end{eqnarray*}$

Demnach wäre der Flächeninhalt für u=2 30 Flächeneinheiten

07.04.2016, 15:09

klarsoweit

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Zitat:

Original von Aths
Kann ich dann jetzt beim Rechteck, da man dort nicht durch 2 teilen muss die Formel nehmen?:

Du hast ein Rechteck mit einer Höhe und einer Breite. Aus diesen Größen errechnet sich der Flächeninhalt. Was du also brauchst, ist ein Term für die Höhe bzw. Breite.

EDIT: der Term f(u) für die Höhe ist korrekt. Das Problem ist die Breite.

Zitat:

Original von Aths
Demnach wäre der Flächeninhalt für u=2 30 Flächeneinheiten

Wie hast du das gerechnet?

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07.04.2016, 15:12

Aths

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Was meinst du zu der Formel? Den Wert habe ich berechnet, in dem ich $\begin{eqnarray*} f(2)*2 \end{eqnarray*}$ gerechnet habe.

07.04.2016, 15:27

klarsoweit

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Mal abgesehen davon, daß f(2) * 2 nicht 30 ist, wieso "* 2" ? Welche Breite hat denn das Rechteck, wenn u=2 ist?

Noch ein Hinweis: der Term f(u) für die Höhe ist korrekt. Das Problem ist die Breite.

07.04.2016, 15:38

Aths

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*2, weil wir in der Formel für das Dreieck das auch gemacht haben, also immer $\begin{eqnarray*} *u \end{eqnarray*}$ . Deswegen dachte ich, das müsste hier auch gemacht werden. Wie könnte ich auf die Breite kommen?

07.04.2016, 16:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von Aths
*2, weil wir in der Formel für das Dreieck das auch gemacht haben, also immer $\begin{eqnarray*} *u \end{eqnarray*}$ .

Und was in einer anderen Situation (insbesondere für ein Dreieck) gepaßt hat, muß auch für ein Rechteck stimmen? Das ist ein bißchen blauäugig. unglücklich

unglücklich

Zitat:

Original von Aths
Wie könnte ich auf die Breite kommen?

Indem du vielleicht doch mal eine Skizze machst, wo du die Eckpunkte des Rechtecks einträgst. smile

smile

07.04.2016, 16:28

Aths

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Ich eröffne mal einen Thread wegen der Zeichnung in GeoGebra, dann können wir die hier verwenden.

07.04.2016, 16:35

HAL 9000

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Kann nicht schaden, aber wirklich nötig für 3.3 und folgende ist es nicht: Flächeninhalt des Rechtecks ergibt sich als Produkt Breite * Höhe.

Höhe ist die Strecke $\begin{align*} BC \end{align*}$ , deren Länge ist $\begin{align*} |BC| = f(u) \end{align*}$ .

Breite ist die Strecke $\begin{align*} AB \end{align*}$ , deren Länge ist $\begin{align*} |AB| = ? \end{align*}$ ... sollte aus den Koordinaten ablesbar sein!

07.04.2016, 17:02

Aths

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Danke für die Antwort. Könntest du mir erklären, wie ich die angegebenen Punkte in der Koordinaten in Zahlen umrechnen kann?

07.04.2016, 17:28

HAL 9000

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Im Klartext: Du fragst, wie man die Länge einer Strecke berechnen kann, von der die Koordinaten der Endpunkte bekannt sind? Die überdies wie hier beide einfach auf der x-Achse liegen?

08.04.2016, 01:47

mYthos

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Hier ein GeoGebra-Applet (GGB) und eine Grafik, wie dies aussieht.
Damit du siehst, was und wie es gemacht wurde, öffne das GGB-File und spiele die verschiedenen Formate der Rechtecke einmal interaktiv durch, indem du $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ mittels des Schiebereglers veränderst.

Die exakte Berechnung könnte man ebenfalls GeoGebra überlassen (CAS-Ansicht), ich würde dir aber dringend empfehlen, dass du dies manuell durchführst, denn du brauchst Übung, Übung und nochmals Übung.

In der Grafik ist auch die Zielfunktion für die Fläche des Rechteckes eingezeichnet (strichliert).
Ihre Extremstelle ist jenes $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ , für welches die Fläche des Rechteckes maximal wird.

[attach]41317[/attach]

--- GGB-File --- (ZIP)
[attach]41318[/attach]

[sh. auch --> Rechteck in GeoGebra innerhalb einer Funktion zeichnen]

mY+

08.04.2016, 21:16

Aths

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Danke für die Zeichnung. Die Grundseite des Rechtseck weiss ich, denn für u=2 wäre das 4, stimmt das?

08.04.2016, 22:40

mYthos

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Ja.
Die Länge der Grundseite ist immer gleich $\begin{eqnarray*} 2u \end{eqnarray*}$ , die der Höhe $\begin{eqnarray*} f(u) \end{eqnarray*}$ . Daher ist die Fläche $\begin{eqnarray*} A = u \cdot f(u) \end{eqnarray*}$

08.04.2016, 22:53

Aths

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Danke für die Antwort. Das gilt aber alles nur, wenn es sich um ein Rechteck handelt, oder? Ist $\begin{eqnarray*} f(u) \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} f(2) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 13 \end{eqnarray*}$ ? Laut der Zeichnung ist die Rechnung falsch.

08.04.2016, 23:10

mYthos

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Deine Rechnung muss falsch sein, die Grafik richtig, wie du erkennen kannst.
Wie kommst du auf 13? f(u) kann niemals 13 sein, wenn der höchste Punkt der Parabel gerade (0; 9) ist!

08.04.2016, 23:49

Aths

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Ist es richtig, dass $\begin{eqnarray*} f(u) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(2) \end{eqnarray*}$ ist? $\begin{eqnarray*} f(2): (-2)^2+9=13 \end{eqnarray*}$

09.04.2016, 00:02

riwe

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Zitat:

Original von Aths
Ist es richtig, dass $\begin{eqnarray*} f(u) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f(2) \end{eqnarray*}$ ist? $\begin{eqnarray*} f(2): (-2)^2+9=13 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2u=2\to u=1\to f(u)=? \end{eqnarray*}$

09.04.2016, 00:30

mYthos

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@riwe
Es ist nicht 2u = 2, sondern u = 2, demnach ist die in diesem Fall die waagrechte Rechteckseite gleich 4
---------
@Aths
Der Fehler ist ein anderer (leider machst du immer wieder dumme Anfängerfehler!):

$\begin{eqnarray*} f(x) = 9 - x^2 \ \to \ f(2) = 9 - 4 = 5 \end{eqnarray*}$ (!!) NICHT 13!

Egal, was du für x einsetzt, ob positiv oder negativ, +2 oder -2, infolge des Quadrates bleibt der Ausdruck immer positiv und das Minus davor daher erhalten!

Also nochmals bei deiner Rechnung: $\begin{eqnarray*} -(-2)^2 = -4 \end{eqnarray*}$

mY+

09.04.2016, 08:34

Aths

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Sorry, das hatte ich falsch. Um die Fläche zu berechnen muss ich jetzt dann 4*5= 20 Flächeneinheiten rechnen. Du hattest die Formel $\begin{eqnarray*} A=u*f(u) \end{eqnarray*}$ genannt, aber jetzt habe ich $\begin{eqnarray*} 2u*f(u) \end{eqnarray*}$ gerechnet. Was ist richtig? Ist es so gewollt, dass das Rechteck nicht ganz bis x=-2 und x=2 geht?

09.04.2016, 13:41

riwe

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Zitat:

Original von mYthos
@riwe
Es ist nicht 2u = 2, sondern u = 2, demnach ist die in diesem Fall die waagrechte Rechteckseite gleich 4

mY+

naja, bei mir ist allerdings (bei Geogebra 5.0) u = 1 für dem maximalen Umfang, und damit f(u)=8,
wie wir in OÖ sagen, was soll´s Augenzwinkern

Augenzwinkern

für die maximale Fläche habe ich auch einen anderen Wert für u als u = 2 verwirrt

verwirrt

edit: entschuldige Mythos, da habe ich nicht aufgepaßt,
du/ ihr seid bei 3.2 - 3.4 (und ich war schon weiter Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

09.04.2016, 20:20

Aths

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Gibt es, wie für den Flächeninhalt auch, eine Formel um den Umfang mithilfe von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(u) \end{eqnarray*}$ zu berechnen?

10.04.2016, 00:55

mYthos

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Erst mal zur Flächenfunktion:
Es ist richtig, dass die Fläche des Rechteckes 2u*f(u) beträgt. Die Stelle des Extremwertes dieser Funktion ändert sich jedoch nicht, wenn man konstante Faktoren weglässt (hier die 2),
das ist eine gängige Vereinfachung der Ansatzfunktion.
Nach der Berechnung der Extremstelle (u) muss man zum Endergebnis der Fläche natürlich wieder in die ursprüngliche Flächenformel einsetzen.
Also, ob du mit 2u*f(u) oder u*f(u) rechnest, ist - für die Extremstelle - egal.
----------------
Und selbstverständlich kann auch der Umfang mittels u und f(u) ausgedrückt werden, und das sogar leicht.
Es wäre schön, wenn du da selbst daraufkommen könntest, die Länge der Rechtecksseiten kannst du ja direkt ablesen, wozu ist denn die Grafik da?
Bei der Fäche hast du es doch auch verstanden, oder nicht? Hast du diese schon berechnet?

Anmerkung:
Die maximale Fläche ( $\begin{eqnarray*} 12 \sqrt 3 \ E^2 \end{eqnarray*}$ ) ergibt sich bei $\begin{eqnarray*} u = \sqrt 3 \ E \end{eqnarray*}$ , der maximale Umfang (20 E) bei u = 1 E

mY+

10.04.2016, 08:13

Aths

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Danke für die Antwort. Ablesen kann ich den Umfang, indem ich die Länge aller vier Seiten aus der Grafik entnehme. Könnte ich das auch berechnen?

Um nun den maximalen Flächeninhalt, bzw. den maximalen Umfang des Rechteckes zu berechnen muss ich ja zunächst die Stammfunktion bestimmen, oder? Wie gehe ich da am besten vor?

10.04.2016, 10:43

mYthos

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Aus der Skizze kannst du die Länge und die Höhe des Rechteckes doch als $\begin{eqnarray*} 2u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(u) \end{eqnarray*}$ entnehmen, so weit waren wir doch schon, wo ist das Problem?
Und die "Stammfunktion" bzw. Hauptbedingung oder Ansatzfunktion für den Extremwert hattest du auch schon, zumindest für die Fläche; dort kannst du weitermachen:

$\begin{eqnarray*} A(u) = 2u \cdot f(u) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(u) \end{eqnarray*}$ entnimmst du der gegebenen Gleichung für die Parabel, indem du dort einfach $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ anstatt x einsetzst.

mY+

10.04.2016, 11:17

Aths

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Ist dann $\begin{eqnarray*} A(u) \end{eqnarray*}$ die Stammfunktion? Kann ich die dann =0 setzen?

10.04.2016, 12:03

mYthos

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Na, ableiten musst sie schon, bevor du sie Null setzst.
Weisst du überhaupt, wie bei Extremwertaufgaben vorzugehen ist?

Für Extremwertaufgaben kann man die Vorgänge in einer Art Kochrezept festhalten:

Aufstellen einer Gleichung mit Variablen für die Größe -> Hauptbedingung
Formulierung von Nebenbedingungen
Bestimmung der Zielfunktion durch Einsetzen der Nebenbedingung(en) in nur noch einer Variablen
Die Definitionsmenge bestimmen.
Bestimmung der relativen Extremwerte der Zielfunktion [Nullsetzen der 1. Ableitung]
Mittels der 2. Ableitung auf Art des Extremums prüfen
Extremwert in die Nebenbedingung einsetzen liefert die anderen Größen.

mY+

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