Kettenregel Differentialrechnung (mit Integral)

07.04.2016, 15:29

.unknown.

Kettenregel Differentialrechnung (mit Integral)

Meine Frage:
Hallo zusammen

ich habe folgende Funktion:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^2 -> \mathbb R \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \int_{cos(x)}^{sin(y)} \! e^{-t^2} \, dt \end{eqnarray*}$

ich soll nun zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist und $\begin{eqnarray*} Df(x,y) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ berechnen.

Meine Ideen:
Leider weiss ich nicht, wo ich anfangen soll. (Ich vermute dass ich irgendwie die Kettenregel verwenden sollte.)

Danke schon mal für eure Tipps. smile

07.04.2016, 15:33

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kettenregel Differentialrechnung (mit Integral)
Nun ja, die partiellen Ableitungen kannst du doch berechnen, oder?

07.04.2016, 15:40

.unknown.

Auf diesen Beitrag antworten »

ja ich kann einmal nach x ableiten und einmal nach y, allerdings bin ich mir nicht ganz sicher ob das so geht...

$\begin{eqnarray*} f_x(x,y) = \int_{-sin(x)}^{0} \! e^{-t^2} \, dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_y(x,y) = \int_{0}^{cos(y)} \! e^{-t^2} \, dt \end{eqnarray*}$

und dann müsste ich noch die Stetigkeit der partiellen Ableitungen zeigen, oder?

07.04.2016, 16:04

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Leider falsch. Da mußt du dir den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung nochmal genau ansehen. Wenn das nicht hilft, definiere eine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F(u) := \int_0^u e^{-t^2} ~dt \end{eqnarray*}$

09.04.2016, 18:03

.unknown.

Auf diesen Beitrag antworten »

Also der Hauptsatz der Integralrechnung sagt ja
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx = F(b) - F(a) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist.

In diesem Beispiel also folgendermassen:

$\begin{eqnarray*} \int_{cos(x)}^{sin(y)} \! e^{-t^2} \, dt = F(sin(y)) - F(cos(x)) \end{eqnarray*}$

das jetzt nach x abzuleiten sollte folgendes geben

$\begin{eqnarray*} f_x(x,y) = 0 - (F(cos(x)))' = -f(cos(x))(-sin(x)) = e^{-(cos^2(x))}sin(x) \end{eqnarray*}$

und nach y

$\begin{eqnarray*} f_y(x,y) = e^{-sin^2(x)}cos(x) \end{eqnarray*}$

und diese partiellen Ableitungen sind stetig, da sie Kompositionen von stetigen Funktionen sind und somit ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar. Stimmt das so?

11.04.2016, 08:47

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von .unknown.
und nach y

$\begin{eqnarray*} f_y(x,y) = e^{-sin^2(x)}cos(x) \end{eqnarray*}$

Wenn man das noch so schreibt: $\begin{eqnarray*} f_y(x,y) = e^{-sin^2(y)}cos(y) \end{eqnarray*}$ , dann ist alles ok. smile

Neue Frage »

Antworten »

Kettenregel Differentialrechnung (mit Integral)

Verwandte Themen