Konvergenz der Potenzreihe für e^x im Komplexen

07.04.2016, 19:21

Chemiestudent2,718

Konvergenz der Potenzreihe für e^x im Komplexen

Meine Frage:

Hallo.
e^z wird ja definiert durch
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{z^{k}}{k!} \end{eqnarray*}$ (auch für $\begin{eqnarray*} z\in \mathbb C \end{eqnarray*}$ )

Als Begründung dafür, dass diese Reihe auch für alle komplexen z konvergent ist habe ich glesen:
Da auch im Komplexen aus der absoluten Konvergenz die Konvergenz folgt (soweit so gut) UND $\begin{eqnarray*} | z |^{k} \end{eqnarray*}$ reelle Zahlen sind.
(man setzt also vorraus, dass die Konvergenz für reelle z schon bekannt ist)

Das Problem, dass ich damit habe ist folgendes:
Absolut konvergent heißt für mich
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } |\frac{z^{k}}{k!}| \end{eqnarray*}$ ist auch konvergent.
Das würde nach obenstehendem ja dann bedeuten dass
$\begin{eqnarray*} \frac{| z |^{k}}{k!} = | \frac{z^{k} }{k!}| \end{eqnarray*}$ und das kann ja nicht sein wenn z ne komplexe Zahl sein soll !!

Kann mir jemand sagen ob ich da was falsch verstanden habe ?

Vielen Dank !

Meine Ideen:
keine

07.04.2016, 19:35

Guppi12

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Hallo,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{| z |^{k}}{k!} = | \frac{z^{k} }{k!}| \end{eqnarray*}$ und das kann ja nicht sein wenn z ne komplexe Zahl sein soll !!

Doch, das ist richtig. Warum kann das deiner Meinung nach nicht sein?

08.04.2016, 08:12

Chemiestudent2,718

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Naja. Also wenn
$\begin{eqnarray*} z=a+ib \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} |a+ib|:= \sqrt{a^{2} +b^{2} } \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} | \frac{a+ib}{k!}| = | \frac{a}{k!} +i\frac{b}{k!} | =\sqrt{\frac{a^{2}}{(k!)^{2}}+\frac{b^{2}}{(k!)^{2}} } \end{eqnarray*}$

aber $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{a^{2}}{(k!)^{2}}+\frac{b^{2}}{(k!)^{2}} }\neq\sqrt{a^{2} +b^{2} } \end{eqnarray*}$

08.04.2016, 08:22

klarsoweit

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Zitat:

Original von Chemiestudent2,718
aber $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{a^{2}}{(k!)^{2}}+\frac{b^{2}}{(k!)^{2}} }\neq\sqrt{a^{2} +b^{2} } \end{eqnarray*}$

Das stimmt, aber was hat das mit

Zitat:

Original von Chemiestudent2,718
Das würde nach obenstehendem ja dann bedeuten dass
$\begin{eqnarray*} \frac{| z |^{k}}{k!} = | \frac{z^{k} }{k!}| \end{eqnarray*}$ und das kann ja nicht sein wenn z ne komplexe Zahl sein soll !!

zu tun?

Und ab damit in den Hochschulbereich.

08.04.2016, 08:28

Chemiestudent2,718

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...oh hoppla !
Jz is mir grade aufgefallen dass ich da paar Sachen vergessen habe Hammer

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