Symmetrische Gruppen, Ordnung, Untergruppe

07.04.2016, 19:22	f_l_algo_89	Auf diesen Beitrag antworten »
Symmetrische Gruppen, Ordnung, Untergruppe Meine Frage: Hallo ich habe folgende Aufgabe, vielleicht kann mir hier jemand helfen. Ich habe folgende Permutation gegeben: $\begin{eqnarray} \pi = \left(1 4 3\right) \left(2 9\right) \left(5 6 7 8\right) \end{eqnarray}$ aus der Symmetrische Gruppe: $\begin{eqnarray} \left(S9,\cdot \right) \end{eqnarray}$ Auf der Menge A = {1,2,3,..,9} Die Frage lautet, welche Ordnung hat die kleinste Untergruppe von $\begin{eqnarray} \left(S9,\cdot \right) \end{eqnarray}$ die $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ enthält? Bestimmen Sie alle Elemente dieser Untergruppe. Meine Ideen: Leider habe ich noch keinen Ansatz gefunden wie ich an diese Aufgabe heran gehen kann. Danke schonmal für eure Hilfe.
07.04.2016, 19:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Potenzen von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ müssen drin sein. Kann bei dem Spiel etwas anderes als eine zyklische Gruppe herauskommen ? Vermutlich Ordnung = kgV der Zyklenlängen. Vermutung bestätigt.
07.04.2016, 20:27	f_l_algo_8	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort, jetzt weiß ich das die Ordnung der kleinsten Untergruppe 12 sein muss, wie komme ich denn nun aber auf die Elemente dieser Untergruppe, vielen dank!
07.04.2016, 20:34	Telperion	Auf diesen Beitrag antworten »
@Elvis: An dieser Stelle sollte angemerkt werden, dass für deinen Hinweis zur Berechnung der Ordnung der zyklischen Gruppe die Disjunktheit der Zykel benötigt wird. Sei $\begin{eqnarray} G := \langle \pi \rangle \end{eqnarray}$ . Dann ist die Gruppe zyklisch und $\begin{eqnarray} \|G\| = \operatorname{ord}(\pi) \end{eqnarray}$ . Die Ordnung von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ist im Allgemeinen durch $\begin{eqnarray} \min \left\{ k\in \mathbb N \| \pi^k = \operatorname{id} \right\} \end{eqnarray}$ gegeben. Die Ordnung lässt sich im Allgemeinen nur als kgV der Ordnungen der einzelnen Zykel von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ berechnen, wenn $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ in disjunkter Zykelschreibweise gegeben ist. Hier ist das der Fall. Das sollte aber bedacht werden.
07.04.2016, 21:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Elemente sind die Potenzen $\begin{eqnarray} \pi,\pi^2,... \end{eqnarray}$ . Telperion hat recht, dieses Beispiel ist ein Spezialfall, was die Ordnung betrifft. Zyklisch ist das Erzeugnis eines Gruppenelements immer. Nachtrag 1: Die Potenzen von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ kann man auf den Ziffern 1,...,9 wie folgt berechnen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 4 & 9 & 1 & 3 & 6 & 7 & 8 & 5 & 2 \\ 3 & 2 & 4 & 1 & 7 & 8 & 5 & 6 & 9 \\ ... & .. & ... & ... & . & . & . & . & .. \\ &&&&.\\ &&&&.\\ &&&&.\\ ... & .. & ... & ... & . & . & . & . & .. \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nachtrag 2: Jede Permutation $\begin{eqnarray} \sigma\in S_n \end{eqnarray}$ lässt sich als Produkt elementfremder Zyklen schreiben: $\begin{eqnarray} \sigma=\zeta_1...\zeta_m \end{eqnarray}$ . Die von $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ erzeugte zyklische Untergruppe $\begin{eqnarray} <\sigma>\le S_n \end{eqnarray}$ hat die Ordnung $\begin{eqnarray} ord(<\sigma>)=ord(\sigma)=kgV(ord(\zeta_1),...,ord(\zeta_m))=kgV(l(\zeta_1),...,l(\zeta_m)) \end{eqnarray}$

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