Integralrechnung

07.04.2016, 22:50

mudmath

Integralrechnung

Guten Abend. Wir haben heute mit Integralen angefangen und ich hänge gerade ein bisschen an einer Aufgabe fest. Zuerst einmal mein Lösuingsweg zu einem anderen Integral, welches direkt mit der Aufgabe, die es zu lösen gilt, verbunden ist.

Wir sollten zuerst $\begin{eqnarray*} \int sin²(3x) \end{eqnarray*}$ per partieller Ableitung unter Verwendung von $\begin{eqnarray*} sin²(x)=1-cos²(x) \end{eqnarray*}$ lösen

Meine Lösung dazu:

$\begin{eqnarray*} u=sin(3x); u'=3cos(3x); v=-1/3*cos(3x); v'=sin(3x) \end{eqnarray*}$

Ich habe dann folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} \int sin²(3x)=(-1/3)sin(3x)*cos(3x)+\int cos²(3x) sin²(x)=1-cos²(x)\Rightarrow cos²(3x)=1-sin²(3x) \int sin²(3x)=(-1/3)sin(3x)*cos(3x)+\int 1-sin²(3x) \int 2*sin²(3x)-1=(-1/3)sin(3x)*cos(3x) \int 2*sin²(3x)=(-1/3)sin(3x)*cos(3x)+\int 1 \int sin²(3x)=(-1/6)sin(3x)*cos(3x)+x/2 \int sin²(3x)=x/2-1/12*sin(6x) \end{eqnarray*}$

Ich bin mir nichteinmal sicher, ob das so vom Prof vorgesehen war bzw ich die Angabe richtig verwendet habe. hoffe ja.

Jetzt soll ich das gleiche Integral nochmal lösen aber unter Verwendung von :
$\begin{eqnarray*} sin²(x)= (1/2)(1-cos(2x)) \end{eqnarray*}$ bzw in meinem Fall: $\begin{eqnarray*} sin²(3x)=(1/2)*(1-cos(6x)) \end{eqnarray*}$

und Verzweifle gerade ein bisschen. Habe noch nicht so viel Erfahrung mit Integralen und die benötigten Additionstheoreme bzw Trigonometrischen Umformungen springen mir nicht immer auf den ersten Blick in den Sinn. Hoffe ihr könnte mir weiterhelfen.

Gruß,

mudmath

07.04.2016, 23:17

Helferlein

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RE: Integralrechnung
Kann es sein, dass Du den Wald vor lauter Bäumen nicht siehst?

Gesucht ist $\begin{align*} \int sin^2(3x) \end{align*}$ und es ist bekannt, dass $\begin{align*} sin^2(3x)=\frac 12 \cdot (1-cos(6x)) \end{align*}$

Folglich geht es um $\begin{align*} \int~\frac 12 \cdot (1-cos(6x))~dx \end{align*}$

Und das wirst Du sicherlich berechnen können Augenzwinkern

07.04.2016, 23:33

mudmath

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RE: Integralrechnung

Zitat:

Original von Helferlein
Kann es sein, dass Du den Wald vor lauter Bäumen nicht siehst?

Gesucht ist $\begin{align*} \int sin^2(3x) \end{align*}$ und es ist bekannt, dass $\begin{align*} sin^2(3x)=\frac 12 \cdot (1-cos(6x)) \end{align*}$

Folglich geht es um $\begin{align*} \int~\frac 12 \cdot (1-cos(6x))~dx \end{align*}$

Und das wirst Du sicherlich berechnen können Augenzwinkern

Ja so habe ich das versucht und bin dann bei $\begin{eqnarray*} \int (1/2)(1-cos(6x))=(-1/3)sin(3x)*cos(3x)+ \int cos²(3x) \end{eqnarray*}$ hängen geblieben.

07.04.2016, 23:35

Helferlein

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Vergiss mal die partielle Integration. Bei dieser Darstellung brauchst Du die doch überhaupt nicht.

07.04.2016, 23:49

mudmath

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was brauche ich denn dann? Wie gesagt, es fällt mir noch schwer das zu sehen. Das letzte mal, dass ich INtegriert habe war in der Oberstufe, was schon 4 Jahre her ist Big Laugh

07.04.2016, 23:55

Helferlein

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Dir ist doch sicher bekannt, dass $\begin{align*} \int~cos(x)~dx=sin(x) \end{align*}$ .
Wie sieht es demnach mit $\begin{align*} \int~cos(6x)~dx \end{align*}$ aus?

08.04.2016, 00:05

mudmath

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oje da hab ich wohl wirklich den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen. hab ich denn die erste Aufgabe richtig gemacht oder hätte ich da auch direkt von $\begin{eqnarray*} \int 1-cos²(x) \end{eqnarray*}$ ausgehen müssen?

08.04.2016, 00:19

Helferlein

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Kann man so machen.
Du könntest aber auch direkt mit der Gleichung anfangen und dann die partielle Integration mit $\begin{align*} \int~cos^2(3x) \end{align*}$ vornehmen.

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