Geraden und Punkte im R^2

08.04.2016, 11:04	Thym0505	Auf diesen Beitrag antworten »
Geraden und Punkte im R^2 Meine Frage: Hallo! Ich habe ein Problem beim Verständnis der folgenden Beweisaufgabe:Sei g eine Gerade im R^2 und seien P,Q Elemente von g und verschieden. Zeige, dass P,Q genau dann linear unabhängig sind, wenn 0 nicht Element von g ist. Mein Problem ist nun, dass ich nicht verstehe wie Punkte linear unabhängig oder abhängig voneinander sein können? Ich kenne das nur für Vektoren. Meine Ideen: Da man Äquivalenz zeigen soll, muss man beide Richtungen beweisen. Ich habe mich zunächst daran versucht zu zeigen, dass aus P,Q linear unabhängig folgt,dass 0 nicht Element von g. Diese Aussage ist ja wiederum äquivalent dazu: Aus 0 Element von g folgt, dass es möglich ist P,Q so zu wählen, dass sie linear abhängig sind. Dann kann man z.B. P=(0,0) setzen und sehen, dass kP+lQ=0 für l=0 und K beliebig, also linear abhängig. (Das ist die Definition von linearer Abhängigkeit von Vektoren, die ich kenne. Ob sie hier verwendet werden darf, weiß ich nicht, da ich mir nicht vorstellen kann, wie zwei Punkte linear unabhängig sein können. Für den Beweis der Gegenrichtung hab ich noch keine Idee. Für Antworten wäre ich sehr dankbar!
08.04.2016, 12:24	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geraden und Punkte im R^2 Ich nehme an, es sollen nicht die Punkte l. u. sein, sondern deren Ortsvektoren. Habe mir da einen Beweisvorschlag für die beiden Richtungen notiert, den ich hier ggf. noch mit Latex eintippen müßte.
08.04.2016, 13:02	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geraden und Punkte im R^2 Ich ziehs mal andersrum auf: $\begin{eqnarray} \vec{P} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{Q} \end{eqnarray}$ sind genau dann linear abhängig, wenn 0 $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ g. 1) $\begin{eqnarray} 0\in \end{eqnarray}$ g $\begin{eqnarray} \Rightarrow \vec{P} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{Q} \end{eqnarray}$ l. a. Wenn g durch 0 geht, dann läßt sich die Geradengleichung angeben als $\begin{eqnarray} \vec{x} = \vec{0}+\lambda (\vec{P}-\vec{0} ) = \lambda \vec{P} \end{eqnarray}$ Da auch Q $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ g , existiert ein $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \vec{Q} = \lambda \vec{P} \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} \lambda \neq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda \neq 1 \end{eqnarray}$ . 2) $\begin{eqnarray} \vec{P} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{Q} \end{eqnarray}$ l. a. $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ 0 $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ g Wenn $\begin{eqnarray} \vec{P} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{Q} \end{eqnarray}$ l. a, dann ist wie vor $\begin{eqnarray} \vec{Q} = \lambda \vec{P} \end{eqnarray}$ , somit $\begin{eqnarray} \vec{Q}-\vec{P} = \lambda \vec{P}-\vec{P} \end{eqnarray}$ ein Richtungsvektor der Geraden. Die Geradengleichung lautet dann $\begin{eqnarray} \vec{x} = \vec{P}+\mu(\lambda \vec{P}-\vec{P} )=(1+\lambda \mu-\mu)\vec{P} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} 1+\lambda \mu-\mu=0 \Rightarrow \mu=\frac{1}{1-\lambda } \end{eqnarray}$ ist dann $\begin{eqnarray} \vec{x} =\vec{0} \in \end{eqnarray}$ g. (Beachte: $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist jetzt in Abhängigkeit des Abstands von P und Q ein fester Wert) Ich hoffe, das kann man so durchgehen lassen, da ich es mir erst aufgrund der Aufgabe spontan zusammengereimt habe.
09.04.2016, 14:03	Thym0505	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich weiß jetzt wie die Aufgabe gemeint war und auch die Beweisskizze war sehr hilfreich!
09.04.2016, 14:16	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
@Klauss: Das ist doch ein wenig mehr wie eine Beweisskizze und demzufolge ein Verstoß gegen unser Boardprinzip. Bitte beachte, dass Komplettlösungen nicht erwünscht sind. Der Fragesteller soll nur an eine Lösung herangeführt werden.

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