Anderes Modell als Binomial?

08.04.2016, 16:12

Mathematix

Anderes Modell als Binomial?

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe hier eine Aufgabe, wo ich so ein bisschen vor nem Rätsel stehe. Also grundsätzlich würde ich sie über Binomial lösen, aber es wurde explizit gesagt, dass ein anderes Modell benutzt werden soll. Den sehe ich allerdings einfach nicht. Für nen Ansatz wäre ich dankbar (Wenn ich das Modell weiß sollte ich es hinkriegen, tue mich nur in der Stochastik immer schwer das richtige zu finden...)

Es geht um einen Vokabeltest. Der Test gilt als bestanden, wenn 80% der Vokabeln richtig übersetzt wurden. Die Person erinnert sich an 80 von 100 Vokabeln.

a) Untersuchen Sie quantitativ unter Verwendung eines geeigneten Modelles, ob die Person eher auf einen kurzen oder langen Test hoffen sollte und ob dies auch bei leicht gesteigerter oder verminderter Wissenquote gilt.

b) Die Person besteht NICHT und diskutiert mit der Lehrkraft, da dieser zugesichert hatte, dass 80% Wissenquote reichen - Treffen Sie eine Aussage Betreff der Bestehensquote und der Durchfallquote bei gegebenen Wissensstand.

Meine Ideen:
Über Binomial soltle es zu lösen sein, aber nach diesem ist ja nicht gefragt...

08.04.2016, 17:07

Dopap

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Ich kann dazu nur sagen, dass bei kurzen Tests dem Zufall eine große Bedeutung zukommt.

Ein schwacher Kandidat könnte darauf hoffen.
Im anderen Fall ist ein langer Test von Vorteil, der Zufall wird zrückgedrängt.

Oder so formuliert: die Standardabweichung zur persönlichen Trefferquote sinkt mit $\begin{eqnarray*} \frac {1}{\sqrt n} \end{eqnarray*}$

08.04.2016, 18:00

HAL 9000

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Ok, wir nehmen also an, wir haben eine Grundmenge von 100 Vokabeln, von denen sich die Versuchsperson an 80 davon erinnert.

Beim Test werden nun $\begin{align*} n \end{align*}$ aus diesen 100 Vokabeln herausgesucht - wenn das ganze einigermaßen sinnvoll sein soll ohne (!) Wiederholung. Das führt demzufolge nicht auf das Binomialmodell, sondern das hypergeometrische Modell.

Wenn z.B. n=100 ist, d.h. alle Vokabeln kommen dran, dann kennt die Versuchsperson bekanntlich 80 davon und besteht - mit Wahrscheinlichkeit 1. Augenzwinkern

Das ist aber noch lange kein Indiz dafür, dass hohe Vokabelanzahlen besser sind: Man rechne nur mal n=99 aus. Big Laugh

08.04.2016, 18:05

Huggy

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RE: Anderes Modell als Binomial?
Wie ist die Aufgabe zu verstehen?
Wenn exakt 100 Vokabeln zu lernen waren, sich die Person an 80 davon erinnert, und $\begin{eqnarray*} 0<n \leq 100 \end{eqnarray*}$ davon abgefragt werden, dann ist doch die hypergeometretische Verteilung zuständig.

Ohne Rechnung ist klar, dass es am günstigesten ist, wenn alle 100 abgefragt werden. Die Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist aber keineswegs monoton.

Edit: Hatte die Antwort von HAL noch nicht gesehen.

08.04.2016, 18:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von Huggy
Die Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist aber keineswegs monoton.

Allerdings - es ist eine üble Zickzackkurve, drastisch am Fall n=99 erkennbar (hatte ich gerade noch ergänzt). Augenzwinkern

Selbst wenn wir die Diskretisierungseffekte ausschließen wollen und deswegen nur über durch 5 teilbare Vokabelanzahlen $\begin{align*} n \end{align*}$ reden: Auch da haben wir keine Monotonie. Augenzwinkern

08.04.2016, 18:45

Huggy

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Mir scheint, dass es für Lehrer, die Vokabeltests bewerten wollen oder müssen, interessant sein sollte, sich diese Aufgabe mal anzuschauen.

14.04.2016, 10:43

Mathematix

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Erstmal danke für die Antworten.

Nach Betrachtung mit der hypergeometrischen Verteilung (was ja definitiv Sinn macht) stellt sich für mich nur gerade die Frage, wie ich da die Bedingung mit den 80% einbeziehe, weil irgendwie macht meine Berechnung wenig Sinn von der Ergebnissen her, aber liegt wohl definitiv an der Rechnung.

Es gilt also:

$\begin{eqnarray*} P(x=k) \frac{\begin{pmatrix} K \\ k\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} N-K \\ n-k \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix}} \end{eqnarray*}$

Für n = 100 ist es ja klar, dann muss gelten:

$\begin{eqnarray*} P(x= 80) \frac{\begin{pmatrix} 80 \\ 80\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 20 \\ 20 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 100 \\ 100 \end{pmatrix}} = 1 \end{eqnarray*}$

weil ja die Anzahl der zu bestehenden Vokabeln k= 80 ist bei 80% von 100 Vokablen. Somit ist ihre Chance zu bestehen 100%

Nur für mich stellt sich jetzt die Frage wie berechne ich das z.B. für 95 Vokabeln. In meiner Logik würde das heißen, dass mein k ja 80% von den 95 sein müsste. Sprich $\begin{eqnarray*} n \cdot p = 95 \cdot 0,8 = 76 \end{eqnarray*}$ .
Wenn ich dieses nun aber einsetze erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} P(x=76) \frac{\begin{pmatrix} 80 \\ 76\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 20 \\ 19 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 100 \\ 95 \end{pmatrix}} \approx 0,4201 \end{eqnarray*}$

Was hieße, dass sie zu 42% bestehen würde, was im Sachzusammenhang aber natürlich keinen Sinn macht. Also wo ist mein Denkfehler verwirrt

Danke für die Antworten Freude

14.04.2016, 10:56

HAL 9000

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Es werden 95 aus 100 ausgewählt, wobei sich die 100 aus 80 bekannten und 20 unbekannten Vokabeln zusammensetzen.

Der Test wird bestanden, wenn mindestens 76 der 95 Vokabeln zur ersten Gruppe gehören. Du hast nur den Fall genau 76 berechnet. Am besten rechnet man hier über das Gegenereignis, welches hier genau 75 ist - denn weniger als 75 Vokabeln kann nicht vorkommen (warum?).

15.04.2016, 10:04

Mathematix

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Ah sehr gut smile

Ja gut weniger als 75 können es nicht sein, weil ausgehend, dass 20 falsch beantwortet werden und es insgesamt 95 sind, der Schüler ja die restlichen 75 nach Vorraussetzung weiß.

Will heißen, wenn ich jetzt jeweils ne Aussage über 90/80/70/.../n Vokabeln treffen soll ist dies jeweils:

1 - P(x=k) mit k = Anteil der zu bestehenden Vokabeln - 1. Richtig?

Beispielhaft für n = 91

$\begin{eqnarray*} n \cdot p = 91 \cdot 0.8 = 72,8 \approx 73 \end{eqnarray*}$

Da eine Dezimalzahl auftritt muss ich in diesem Fall wohl aufrundne, weil Dezimalzahl in Binomi is ja etwas schlecht ^^ Gegenereignis zu 73 wäre dann 72.

$\begin{eqnarray*} <br /> 1 - P(k=72) = 1 - \frac{\begin{pmatrix} 80 \\ 72 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 20 \\ 19 \end{pmatrix} }{\begin{pmatrix} 100 \\ 91 \end{pmatrix} } \approx 69,52 \end{eqnarray*}$

Richtig so? ... Stochastik habe ich so gefressen traurig

15.04.2016, 11:57

HAL 9000

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Du solltest vorsichtiger sein mit deinen Analogieübertragungen: Nur weil bei 95 Fragen das Gegenereignis zum Bestehen (also "Durchfallen") nur aus einer Frageanzahl besteht, muss das bei einer geringeren Frageanzahl nicht genauso sein. unglücklich

Konkret: Gegenteil zu $\begin{align*} \geq 73 \end{align*}$ ist $\begin{align*} \leq 72 \end{align*}$ . Und bei 91 Fragen ist eben nicht nur 72, sondern auch 71 möglich!

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