Prädikatenlogik

09.04.2016, 00:25

Shizmo

Prädikatenlogik

Hallo

Ich habe eine Frage dazu: Ist die prädikatenlogische Formel wahr?

$\begin{eqnarray*} \forall x \in \mathbb{Z}(\exists y \in \mathbb{Z}(x+y=0)) \Rightarrow \exists y \in \mathbb{Z}(\forall x \in \mathbb{Z} (x+y=0)) \end{eqnarray*}$

Okay, also ich wuerde mal anfangen die Implikation zu loesen, also:

$\begin{eqnarray*} \exists x \in \mathbb{Z} (\forall y \in \mathbb{Z} (x+y\neq 0)) \vee \exists y \in \mathbb{Z}(\forall x \in \mathbb{Z} (x+y=0)) \end{eqnarray*}$

Das heißt wörtlich:

Es gibt ein x aus Z, so dass für alle y aus Z gilt: x+y ungleich 0 oder
Es gibt ein y aus Z, so dass für alle x aus Z gilt: x+y=0

Zum ersten Teil: Es gibt doch kein ultimatives x, das immer für alle gelten kann oder? zB x=5, dann gilt es für alle y außer wenn y= -5 Also ist der erste Teil falsch!?

Zum zweiten Teil: Analog, zB y=5, dann gilt die Aussage nur für x= -5, ansonsten nie. Also auch Falsch.

Somit ist die Aussage falsch.
Stimmt das soweit?

LG

09.04.2016, 09:40

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde nicht die Implikation auflösen, sondern die beiden Teile betrachten. Der 1. Teil ist wahr, weil $\begin{eqnarray*} \mathbb (Z,+) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe mit neutralem Element 0 ist. Der 2. Teil ist falsch, weil es keinen allgemeinen Annihilator in $\begin{eqnarray*} \mathbb (Z,+) \end{eqnarray*}$ gibt. Also ist die Implikation falsch.

Deine Analyse ist auch richtig.

Nur gut, dass wir beide zu der Erkenntnis gelangen, dass die Implikation falsch ist, sonst hätten wir ein Problem. Wink

09.04.2016, 10:47

Shizmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Antwort.

Haha ja Big Laugh

Okay soweit so gut, Teil 2 der Frage geht so:

Zitat:

Was sagt uns das über die prädikatenlogische Formel $\begin{eqnarray*} \forall x \exists y P(x,y) \Rightarrow \exists y \forall x P(x,y) \end{eqnarray*}$ ?
Kann diese Formel eine Tautologie sein? Begründen Sie Ihre Antwort.

Tja was sagt uns das? Dass es nicht egal ist, wo welcher Quantor steht und es somit 2 verschiedene Aussagen sind.
Ich vermute mal, dass es auch eine Tautologie sein könnte, wüsste jetzt aber nicht, wie ich das begründen würde.

LG

09.04.2016, 12:46

Elvis

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles richtig, nur die Vermutung ist falsch.
Eine Tautologie ist immer wahr, das ist die Definition des Begriffs Tautologie. Diese Implikation ist nicht immer wahr, denn wir haben ja ein Beispiel, wo diese Implikation falsch ist.

09.04.2016, 13:58

Shizmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, vielen Dank Freude

Neue Frage »

Antworten »

Prädikatenlogik

Verwandte Themen