Bruchrechnung, Zusammenfassen, Mittelwert

09.04.2016, 10:43	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Bruchrechnung, Zusammenfassen, Mittelwert Hallo, Ich verstehe einen Schritt in meinen Skriptum über Modellierung/Gültigkeit asymptotischer Näherungen nicht: Sei $\begin{eqnarray} g^{\epsilon} (r,t):= \frac{1}{\epsilon^{n+1}} [\frac{1}{(1+ \epsilon x(t))^2} - \frac{1}{(1+\epsilon x(t)+\epsilon^{n+2} r)^2}] \end{eqnarray}$ Warum gilt $\begin{eqnarray} g^{\epsilon} (r,t) - g^{\epsilon} (\tilde{r} ,t)= \frac{ 2 \epsilon(r-\tilde{r})}{(1+\epsilon x(t) + \epsilon^{n+2} \overline{r})^3} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \overline{r} \end{eqnarray}$ zwischen $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tilde{r} \end{eqnarray}$ liegt. Ich weiß nicht obman es hier braucht aber $\begin{eqnarray} x(t)= \sum_{k=1}^n \epsilon^k x_k (t) \end{eqnarray}$ Der erste Term fällt klarerweise weg aber sonst? Wird da Taylor benutz oder wie kommt man auf die Gleichungen? Würde mich über Hinweise freuen!
09.04.2016, 16:14	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bruchrechnung, Zusammenfassen, Mittelwert Hi, ich lasse mal alles weg, was in deinem Zusammenhang ohne Bedeutung ist. Entwickle gemäß Taylor $\begin{eqnarray} g(r) \end{eqnarray}$ um $\begin{eqnarray} \tilde{r} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g(r)=g(\tilde{r})+g_r(\tilde{r})\cdot(r-\tilde{r}) \end{eqnarray}$ Hierin ist $\begin{eqnarray} g_r(\tilde{r}) \end{eqnarray}$ die Ableitung nach $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} \tilde{r} \end{eqnarray}$ Ersetze die Ableitung $\begin{eqnarray} g_r(\tilde{r}) \end{eqnarray}$ gemäß dem https://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwert...rentialrechnung durch $\begin{eqnarray} g_r(\overline{r}) \end{eqnarray}$
15.04.2016, 12:02	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Danke für deinen Post! Das ist ja dann eigentlich nur der Mittelwertsatz, den man anwendet. Ist da kein Vorzeichenfehler drinnen? MWS $\begin{eqnarray} g(r,t) - g(\tilde{r}, t)= g_r (\overline{r},t) (r- \tilde{r}) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \overline{r} \end{eqnarray}$ zwischen $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tilde{r} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g_r ( \overline{r}, t)= \frac{- 2 \epsilon}{(1+\epsilon x_{as}^{\epsilon} + \epsilon^{n+1} \overline{r})^{3}} \end{eqnarray}$ LG, MaGi
16.04.2016, 12:22	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein hier ist kein Vorzeichenfehler, denn die Ableitung von $\begin{eqnarray} -\frac{1}{f(r)^2} \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ ergibt ein $\begin{eqnarray} + \end{eqnarray}$

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