Kugeln ziehen - wann ist welche Wkt. höher?

09.04.2016, 12:20

Veloci

Kugeln ziehen - wann ist welche Wkt. höher?

In einer Urne befinden sich N Kugeln. S davon sind schwarz, W davon sind weiß, sodass S+W=N.

Es werden entweder zwei Kugeln mit Zurücklegen oder vier Kugeln mit Zurücklegen gezogen.
Sind in der Ziehung mindestens 50% schwarze Kugeln, hat man gewonnen.

Die Frage lautet nun: Wann lohnt es sich, zwei Kugeln zu ziehen und wann, vier zu ziehen, um zu gewinnen?

Meine Rechnung:

$\begin{eqnarray*} p := \frac{S}{S+W} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X_2 := "zweimaliges Ziehen"; X_4 := "viermaliges Ziehen" \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X_2 \ge 1) = 1- (1-p)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X_4 \ge 1) = 1- ((1-p)^4 + 4\cdot p \cdot (1-p)^3) \end{eqnarray*}$ .

Ich schaue nun z.B., wann die Wkt. bei viermaligem Ziehen höher ist als die bei zweimaligem Ziehen:

$\begin{eqnarray*} P(X_4 \ge 1) > P(X_2 \ge 1) \leftrightarrow (1-p)^4 + 4p(1-p)^3 > (1-p)^2 \leftrightarrow (1-p)^2 + 4p(1-p) > 1 \leftrightarrow 2p - 3p^2 > 0 \end{eqnarray*}$ .

Aus der letzten Ungleichung entnehme ich:

$\begin{eqnarray*} p < \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ .

Das müsste bedeuten: Wenn $\begin{eqnarray*} \frac{S}{S+W} < \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ , dann sollte ich lieber vier mal ziehen.

Es müsste aber genau umgekehrt lauten: In diesem Fall sollte ich nämlich eher zwei mal ziehen.

Wo steckt denn hier der Wurm drin?

09.04.2016, 13:08

Helferlein

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RE: Kugeln ziehen - wann ist welche Wkt. höher?
Der Wurm steckt in dieser Umformung:

Zitat:

Original von Veloci

$\begin{eqnarray*} P(X_4 \ge 1) > P(X_2 \ge 1) \Leftrightarrow (1-p)^4 + 4p(1-p)^3 > (1-p)^2 \end{eqnarray*}$

Und noch ein Hinweis zur Bezeichnung: $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_4 \end{eqnarray*}$ sind nicht das Ziehen selber, sondern die Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln bei 2 bzw. 4-maligem Ziehen (mit Zurücklegen).

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