Warum funktioniert partielle Integration hier nicht?

09.04.2016, 15:08

DuDie72

Warum funktioniert partielle Integration hier nicht?

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgende Funktion gegeben:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3t}x(x-3t)^2 \end{eqnarray*}$ , und soll diese Integrieren.

Durch einfaches ausmultiplizieren und anschließendes Integrieren erhält man das unbestimmte Integral: $\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{x^2}{12t}(18t^2-8tx+x^2) \end{eqnarray*}$ , von dem ich weiß, dass es richtig ist.

Ich habe dann aus Spaß versucht dieses Integral durch eine partielle Integration zu lösen und festgestellt, dass ich zu keiner Lösung komme. Daher ist meine Frage welchen Fehler ich bei meiner Integration gemacht oder wieso sich die partielle Integration nicht auf die Funktion f(x) zum integrieren anwenden lässt.

Danke für Ihre Hilfe!

Meine Ideen:
Lösungsansatz durch partielle Integration:

$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{3t}x \Rightarrow g'(x)=\frac{1}{3t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} k'(x)=(x-3t)^2 \Rightarrow k(x)=\frac{1}{3}(x-3t)^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x)=k'(x)\cdot g(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow F(x)=k(x)\cdot g(x) - \int_{}^{} \! g'(x)\cdot k(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow F(x)=\frac{1}{3t}x\cdot \frac{1}{3}(x-3t)^3 - \int_{}^{} \! \frac{1}{3t}\cdot \frac{1}{3}(x-3t)^3 \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{9t}x\cdot (x-3t)^3-\int_{}^{} \! \frac{1}{9t}\cdot (x-3t)^3 \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \frac{1}{9t}\cdot (x-3t)^3 \, dx = \frac{1}{36t}\cdot (x-3t)^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow F(x)=\frac{x}{9t}\cdot (x-3t)^3-\frac{1}{36t}\cdot (x-3t)^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{9t}\cdot (x-3t)^3\cdot (x-\frac{1}{4}\cdot (x-3t)^4) \end{eqnarray*}$

Vergleicht man den Verlauf dieses Graphen mit der Aufleitung die durch einfaches ausmultiplizieren bestimmt wurde, ergibt sich, dass diese unterschiedlich sind

09.04.2016, 15:24

Mathema

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Du hast nur falsch ausgeklammert. Richtig ist:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow F(x)=\frac{x}{9t}\cdot (x-3t)^3-\frac{1}{36t}\cdot (x-3t)^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{9t}\cdot (x-3t)^3\cdot (x-\frac{1}{4}\cdot (x-3t)^1) \end{eqnarray*}$

Die 1 kannst du natürlich auch weglassen.

Wink

09.04.2016, 15:25

DuDie72

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Sehe gerade, dass ich beim vereinfachen am Ende einen Tippfehler gemacht habe. Die Funktion F(x) muss stattdessen so aussehen:

$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{1}{9t}\cdot (x-3t)^3\cdot (x-\frac{1}{4}\cdot (x-3t)) \end{eqnarray*}$

09.04.2016, 15:26

DuDie72

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Danke für die schnelle Hilfe! Das vereinfachen am Ende war leider nur ein Tippfehler. Die Integrale stimmen leider trotzdem noch nicht miteinander überein.

09.04.2016, 15:28

Mathema

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Wieso nicht? Sie unterscheiden sich nur durch eine additive Konstante.

09.04.2016, 15:35

DuDie72

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Zitat:

Original von Mathema
Wieso nicht? Sie unterscheiden sich nur durch eine additive Konstante.

zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} t = 5 \Rightarrow F_1(3)=\frac{3^2}{12\cdot 5}(18\cdot 5^2-8\cdot 53+3^2)=50 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} t = 5 \Rightarrow F_2(3)=\frac{1}{9\cdot 5}\cdot (3-3 \cdot 5)^3\cdot (3-\frac{1}{4}\cdot (3-3 \cdot 5)) = -230 \end{eqnarray*}$

Obwohl die Ergebnisse ja eigentlich gleich sein müsten, wenn beide Aufleitungen gleich wären

09.04.2016, 15:53

Mathema

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Löse doch mal deine Stammfunktion auf und vereinfache. Du erhältst:

$\begin{eqnarray*} F_t(x)=\frac{1}{9t}\cdot (x-3t)^3\cdot (x-\frac{1}{4}\cdot (x-3t)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{x^2}{12t}(18t^2-8tx+x^2)-\frac{27}{12}t^3 \end{eqnarray*}$

Der hintere Teil ist unabhängig von x und fällt bei Ableitung nach x weg. Deswegen schreiben wir bei einer Stammfunktion hinten noch "+c". Es gibt eben nicht nur eine Stammfunktion, sondern unendlich viele.

Zu deinen Beispielen:

$\begin{eqnarray*} t = 5 \Rightarrow F_1(3)=\frac{3^2}{12\cdot 5}(18\cdot 5^2-8\cdot 5\cdot3+3^2)=50,85 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t = 5 \Rightarrow F_2(3)=\frac{1}{9\cdot 5}\cdot (3-3 \cdot 5)^3\cdot (3-\frac{1}{4}\cdot (3-3 \cdot 5)) = -230,4 \end{eqnarray*}$

Sie unterscheiden sich also um 281,25. Und nun berechnen wir mal folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{27}{12}\cdot5^3=\frac{1125}{4}=281,25 \end{eqnarray*}$

Nun?

PS: Bitte benutze nie wieder das Wort Aufleitung!

09.04.2016, 15:55

DuDie72

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Zitat:

Original von DuDie72

Zitat:

Original von Mathema
Wieso nicht? Sie unterscheiden sich nur durch eine additive Konstante.

Habe schon wieder nen Tippfehler gemacht Erstaunt2

. Es muss eingentlich so aussehen:

zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} t = 5 \Rightarrow F_1(3)=\frac{3^2}{12\cdot 5}(18\cdot 5^2-8\cdot 5\cdot 3+3^2)=50 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} t = 5 \Rightarrow F_2(3)=\frac{1}{9\cdot 5}\cdot (3-3 \cdot 5)^3\cdot (3-\frac{1}{4}\cdot (3-3 \cdot 5)) = -230 \end{eqnarray*}$

Obwohl die Ergebnisse ja eigentlich gleich sein müsten, wenn beide Aufleitungen gleich wären

09.04.2016, 15:57

DuDie72

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Zitat:

Original von Mathema
Löse doch mal deine Stammfunktion auf und vereinfache. Du erhältst:

$\begin{eqnarray*} F_t(x)=\frac{1}{9t}\cdot (x-3t)^3\cdot (x-\frac{1}{4}\cdot (x-3t)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{x^2}{12t}(18t^2-8tx+x^2)-\frac{27}{12}t^3 \end{eqnarray*}$

Der hintere Teil ist unabhängig von x und fällt bei Ableitung nach x weg. Deswegen schreiben wir bei einer Stammfunktion hinten noch "+c". Es gibt eben nicht nur eine Stammfunktion, sondern unendlich viele.

Zu deinen Beispielen:

$\begin{eqnarray*} t = 5 \Rightarrow F_1(3)=\frac{3^2}{12\cdot 5}(18\cdot 5^2-8\cdot 5\cdot3+3^2)=50,85 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t = 5 \Rightarrow F_2(3)=\frac{1}{9\cdot 5}\cdot (3-3 \cdot 5)^3\cdot (3-\frac{1}{4}\cdot (3-3 \cdot 5)) = -230,4 \end{eqnarray*}$

Sie unterscheiden sich also um 281,25. Und nun berechnen wir mal folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{27}{12}\cdot5^3=\frac{1125}{4}=281,25 \end{eqnarray*}$

Nun?

PS: Bitte benutze wieder das Wort Aufleitung!

Uh stimmt. Vielen Dank!

09.04.2016, 16:00

Mathema

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Beim PS fehlt noch das Wort "nie". Das habe ich editiert. Augenzwinkern

09.04.2016, 16:04

DuDie72

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Zitat:

Original von Mathema
Beim PS fehlt noch das Wort "nie". Das habe ich editiert. Augenzwinkern

Ok, kommt nie wieder vor Engel

. Kannst du mir zuletzt noch sagen, wie ich einen meiner Threads schließen kann?

09.04.2016, 16:11

Mathema

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Gar nicht! Das hast du schon gemacht mit deinen Worten

Zitat:

Vielen Dank!

Die Threads bleiben hier offen, da vielleicht immer noch jemand eine Ergänzung hat, einen Fehler findet, oder einen alternativen Lösungsweg vorstellen möchte.

Als Beispiel könnte nun noch jemand anbringen, dass es wirklich unnötig ist, dass du bei deiner partiellen Integration die Konstante mit durchschleppen möchtest. Es ist:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{3t}x(x-3t)^2 \, \dd x=\frac{1}{3t}\int \! x(x-3t)^2 \, \dd x \end{eqnarray*}$

Und nun wird partiell integriert. Das nur als Beispiel.

An dieser Stelle noch mal Willkommen

und viel Spaß hier weiterhin im Board.

09.04.2016, 19:33

IfindU

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Als eine Bemerkung könnte man noch hinzufügen, dass die lineare Substitution $\begin{eqnarray*} z:= x - 3t \end{eqnarray*}$ das Integral zu $\begin{eqnarray*} \frac 1 {3t} \int(z + 3t) z^2 dz = \frac 1 {3t} \int z^3 + 3tz^2 dz \end{eqnarray*}$ transformiert.

Ähnlich zu dem Ansatz des ausmultiplizierens ganz zu Anfang, aber man kommt nun ohne binomische Formel und weniger Summanden aus.

12.04.2016, 17:32

Hinweisgeber

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Zweckmäßig ist mEn das (x-3t)^2 auszurechnen: x^2 -6tx +9t^2. Das ganze mit x multipliziert und man erhält 3 Summen. Warum also die schwere Artillerie der partiellen Integration, wenn es auch die Polynomformel tut?

12.04.2016, 17:38

Mathema

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Wer lesen kann ist klar im Vorteil:

Zitat:

Ich habe dann aus Spaß versucht dieses Integral durch eine partielle Integration zu lösen und festgestellt, dass ich zu keiner Lösung komme.

Ein lobenswerter Ansatz. Übung macht ja bekanntlich...

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