Numerische Flächenberechnung mit der Konstanten e |
| 09.04.2016, 18:43 | Raven_ftw | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Numerische Flächenberechnung zweier Graphen mit u.a. der Konstanten e Hallo zusammen, folgende Fragestellung: Gegeben sind die Funktionen f(x) = x^2 - 1 für x < 1 f(x) = 3x^2 - 4x + 1 für x >= 1 g(x) = 5/3 x + 2/3 + e^((x+1)(x-2)) Berechnen Sie numerisch die Fläche, die von den Graphen der beiden Funktionen über dem Intervall [-1,2] eingeschlossen wird, auf zwei Nachkommastellen genau. Meine Ideen: Schnittstellen bestimmen f(x) = g(x) Für x < 1 x^2 - 1 = 5/3 x + 2/3 + e^((x+1)(x-2)) x^2 - 1/3 x - 5/3 - e^((x+1)(x-2)) = 0 So, eigl wäre es Zeit für die Mitternachtsformel, allerdings weiß ich nicht, wie ich e loswerden kann... Habe schon überlegt den Zahlenwert gerundet einzusetzen, aber ich glaube das ist nicht gewollt :-) Grüße Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen |
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| 10.04.2016, 01:47 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
e "loswerden" wird nicht gelingen, und auch das (nicht erlaubte) Runden der Basis - was übrigens nichts bringt - ändert nichts daran, dass die Gleichung z.T. nur näherungsweise gelöst werden kann (Newton, Regula Falsi, etc.). Tipp: Erstelle zunächst die Graphen! Einer der Schnittpunkte liegt bei x = -1 Das Integral der e-Funktion dürfte ebenfalls nicht analytisch zu berechnen sein, auch hier wird ein Näherungsverfahren (Simpson, Trapezregel, ..) nötig werden. ------------ EDIT: Eventuell ist die e-Funktion auch direkt durch eine Potenzreihe zu approximieren (Abbruch bei Ordnung 3 für x², d.h. bei 6. Potenz bei x) .. mY+ |
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| 10.04.2016, 17:33 | Raven_ftw | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi, danke für die Antwort. Graph habe ich bereits erstellt. Die Schnittstellen liegen exakt an den Intervallgrenzen, d.h. bei -1 und 2. Darf ich Newton Verfahren bei der Gleichung wirklich anwenden? Dachte Newton Verfahren ist für Polynome > 2 |
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| 10.04.2016, 18:34 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das Newton-Verfahren kann, falls es konvergiert, für beliebige (im betrachteten Intervall diffbare) Funktionen angewandt werden, bei Weitem nicht nur für Polynomfunktionen, das ist ja die Stärke des Verfahrens. An Stelle des Differentialquotienten kann auch der Differenzenquotient verwendet werden, man nimmt einfach x-Differenzen im Bereich von 0,0001 (natürlich nur mit CAS). Alternativ funktionieren auch das Sekantenverfahren (Regula Falsi) oder das Intervall-Halbierungsverfahren, diese konvergieren jedoch in der Regel langsamer. -------------- In deinem Fall stimmt es, dass die Schnittstellen erraten werden können. Andernfalls kommt eines der erwähnten Verfahren zur Anwendung. EDIT: Das Integral der e-Funktion mittels der Potenzreihenentwicklung (Taylorreihe) ist leider zu ungenau, wenn man bereits nach der 3.Potenz des quadratischen Exponenten abbricht. Man muss mindestens bis zur 8. Potenz des Exponenten gehen (entspricht der 16. Potenz von x), soll die Genauigkeit bis zur 2. Dezimalstelle reichen. Versuche alternativ ein anderes Näherungsverfahren! [A1 = 3,152 FE; A2 = 1,537 FE] mY+ |
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